Residuensatz für Integral mit kreisförmigen Weg benutzen.

Question

könnte Hilfe bei folgender Aufgabe brauchen :

Aufgabe:

a.) Bestimmen Sie die Residuen an den Polstellen von f(z) = \( \frac{e^{iz}}{z²+4} \)

b.) Berechnen Sie unter Verwendung des Residuensatzes das Kurvenintegral ∫_C f(z) dz, wobei C einen kreisförmigen Weg der Form | z-i | = 2 bezeichne.

Problem/Ansatz:

a.) Polstelle bei 2i und -2i

Res_f (2i) = \( \lim\limits_{z\to 2i} \) (z-2i) * \( \frac{e^{iz}}{(z+2i)(z-2i)} \) = \( \frac{e^{-2}}{4i} \) = \( \frac{-i}{4e^2} \)

Res_f (-2i) = \( \lim\limits_{z\to -2i} \) (z+2i) * \( \frac{e^{iz}}{(z+2i)(z-2i)} \) = \( \frac{-e^{2}}{4i} \) = \( \frac{e^2*i}{4} \)

Jetzt weiß ich nicht wie ich bei einem Kurvenintegral mti dem Residuensatz vorgehen soll könnte jemand helfen ? 

Bei einem reellen Integral hatte ich halt einfach :

\( \int\limits_{-\infty}^{\infty} \) ... = 2 π i * \( \sum\limits_{Im_z0>0}^{}{Res_f (z₀)} \)  
Was auch geklappt hat indem ich nur die Residuen eingesetzt habe bei denen die Polstellen positiv sind.
Allerdings weiß ich jetzt wie gesagt nicht wie es beim Kurvenintegral aussieht und was ich mit | z-i | = 2 mache.


Liebe Grüße Kevin

Comments

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Answer 1

Es gilt:

$$ \int_C f(z) dz = \textrm{ind}_C(2i) \textrm{Res}_f (2i) + \textrm{ind}_C(-2i) \textrm{Res}_f (-2i) $$

Dabei ist \( \textrm{ind}_C(a) \) der Index oder die Umlaufzahl von a, d.h. wie oft die Kurve C entgegen des Uhzeigers den Punkt a umläuft. Vergleiche

https://de.wikipedia.org/wiki/Residuensatz

https://de.wikipedia.org/wiki/Umlaufzahl_(Mathematik)

Mach dir mal eine Skizze der Residuen und der Kurve, dann solltest du die Umlaufzahlen ablesen können. Falls du nicht weiterkommst melde dich nochmal.

Comments

Hey vielen Dank dir.

Allerdings komme Ich dennoch nicht weiter denn bei mir bilden die Kurven keinen geschlossenen Kreis also hätte ich eine Umlaufzahl von 0.

Allerdings habe ich auch nicht  |z-i| = 2 mit einbezogen und weiß ehrlich gesagt auch nicht wie.
Ich dachte daran dass ganze mit R*e^(it ) zu parametrisieren allerdings war in der Aufgabenstellung die Rede von einem kreisförmigen Weg und keinem richtigen Kreis.

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|z-i|=2 ist ein Kreis um i mit Radius zwei.

Zwei mögliche Kurven die diesen Kreis beschreiben wären:

$$ \gamma : [0,2\pi] \to \mathbb{C}, t\mapsto i + 2e^{it} $$

oder

$$ \gamma : [0,2\pi] \to \mathbb{C}, t\mapsto i + 2e^{-it} $$

Da kenne ich jetzt aber eure Konvention nicht.