Polynomfunktion 3 Grades: Punkt P hat eine Tangente mit dem Anstieg k=9

Question

Aufgabe:

Polynomfunktion 3 Grades:

Wendepunkt W(-1/2)

im Punkt P (1/4) hat diese Funktion eine Tangente mit dem Anstieg k=9.

Ich habe schon Wendepunkt:

f(-1)=-a+b-c+d=2

f’’(-1)=-6a+2b=0

Aber wie findet man Punkt P und Steigung ?

Vielen Dank im Voraus !

Answer 1

f ' (1) = 9  Die Steigung bei x=1 beträgt 9 .

und

f (1) = 4 damit P auf dem Graphen liegt.

Answer 2

Ich nutze mal http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm

Answer 3

Aloha :)

Eine Polynomfunktion 3-te Grades hat die Form:$$p(x)=ax^3+bx^2+cx+d$$Ihre erste und zweite Ableitung sind:

$$p'(x)=3ax^2+2bx+c$$$$p''(x)=6ax+2b$$

Die 4 Unbekannten $a,b,c,d$ musst du nun mit Hilfe der "Personenbeschreibung" finden. Ich empfehle, bei den höchsten Ableitungen anzufangen und sich dann bis zur Funktionsgleichung durchzuarbeiten.

(1) Die Funktion hat den Wendepunkt $W(-1;2)$. Das bedeutet formal:$$0=p''(-1)=6a\cdot(-1)+2b=-6a+2b\quad\Rightarrow\quad6a=2b\quad\Rightarrow\quad \underline{b=3a}$$

(2) Im Punkt $P(1;4)$ hat die Kurve eine Tangente mit der Steigung 9. Bedeutet formal:$$9=p'(1)=3a+2b+c=3a+2\cdot\underbrace{3a}_{=b}+c=9a+c\quad\Rightarrow\quad \underline{c=9-9a}$$Jetzt haben wir alle Ableitungen durchgearbeitet und haben nur noch 2 Punkte für $p(x)$. Allerdings können wir nun schon 2 Variablen aus $p(x)$ ersetzen:$$p(x)=ax^3+\underbrace{3a}_{=b}\cdot x^2+\underbrace{\left(9-9a\right)}_{=c}\cdot x+d=ax^3+3ax^2+9(1-a)x+d$$Jetzt setzen wir den Punkt $W(-1;2)$ ein:$$(3)\;2=p(-1)=-a+3a-9(1-a)+d=11a+d-9\quad\Rightarrow\quad \underline{d=11-11a}$$Und schließlich noch der letzte Punkt $P(1;4)$:$$(4)\;4=p(1)=a+3a+9(1-a)+\underbrace{11-11a}_{=d}=-16a+20\quad\Rightarrow\quad 16a=16\quad\Rightarrow\quad \underline{a=1}$$

Also haben wir $a=1,b=3,c=0,d=0$ und die Lösung lautet:$$p(x)=x^3+3x^2$$

Answer 4

Polynomfunktion 3 Grades:

Wendepunkt W(-1/2)

im Punkt P (1/4) hat diese Funktion eine Tangente mit dem Anstieg k=9.

Ich habe schon Wendepunkt:

Natürlich hast du den. Der steht in Zeile 2.

Aber wie findet man Punkt P 

Indem du die in Zeile 3 gegebenen Koordinaten (1|4) ABLIEST.