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Aufgabe:

Polynomfunktion 3 Grades:

Wendepunkt W(-1/2)

im Punkt P (1/4) hat diese Funktion eine Tangente mit dem Anstieg k=9.


Ich habe schon Wendepunkt:

f(-1)=-a+b-c+d=2

f’’(-1)=-6a+2b=0


Aber wie findet man Punkt P und Steigung ?


Vielen Dank im Voraus !

von

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Beste Antwort

f ' (1) = 9  Die Steigung bei x=1 beträgt 9 .

und

f (1) = 4 damit P auf dem Graphen liegt.

von 171 k
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Aloha :)

Eine Polynomfunktion 3-te Grades hat die Form:$$p(x)=ax^3+bx^2+cx+d$$Ihre erste und zweite Ableitung sind:

$$p'(x)=3ax^2+2bx+c$$$$p''(x)=6ax+2b$$

Die 4 Unbekannten \(a,b,c,d\) musst du nun mit Hilfe der "Personenbeschreibung" finden. Ich empfehle, bei den höchsten Ableitungen anzufangen und sich dann bis zur Funktionsgleichung durchzuarbeiten.

(1) Die Funktion hat den Wendepunkt \(W(-1;2)\). Das bedeutet formal:$$0=p''(-1)=6a\cdot(-1)+2b=-6a+2b\quad\Rightarrow\quad6a=2b\quad\Rightarrow\quad \underline{b=3a}$$

(2) Im Punkt \(P(1;4)\) hat die Kurve eine Tangente mit der Steigung 9. Bedeutet formal:$$9=p'(1)=3a+2b+c=3a+2\cdot\underbrace{3a}_{=b}+c=9a+c\quad\Rightarrow\quad \underline{c=9-9a}$$Jetzt haben wir alle Ableitungen durchgearbeitet und haben nur noch 2 Punkte für \(p(x)\). Allerdings können wir nun schon 2 Variablen aus \(p(x)\) ersetzen:$$p(x)=ax^3+\underbrace{3a}_{=b}\cdot x^2+\underbrace{\left(9-9a\right)}_{=c}\cdot x+d=ax^3+3ax^2+9(1-a)x+d$$Jetzt setzen wir den Punkt \(W(-1;2)\) ein:$$(3)\;2=p(-1)=-a+3a-9(1-a)+d=11a+d-9\quad\Rightarrow\quad \underline{d=11-11a}$$Und schließlich noch der letzte Punkt \(P(1;4)\):$$(4)\;4=p(1)=a+3a+9(1-a)+\underbrace{11-11a}_{=d}=-16a+20\quad\Rightarrow\quad 16a=16\quad\Rightarrow\quad \underline{a=1}$$

Also haben wir \(a=1,b=3,c=0,d=0\) und die Lösung lautet:$$p(x)=x^3+3x^2$$

von 3,9 k
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Polynomfunktion 3 Grades:

Wendepunkt W(-1/2)

im Punkt P (1/4) hat diese Funktion eine Tangente mit dem Anstieg k=9.

Ich habe schon Wendepunkt:

Natürlich hast du den. Der steht in Zeile 2.

Aber wie findet man Punkt P 

Indem du die in Zeile 3 gegebenen Koordinaten (1|4) ABLIEST.

von 6,0 k

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