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Ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter oder weiß leider nicht, wie ich sie angeben soll.

Die Gleichung: sin(2x) + 0,5x = 0,6

soll im Intervall [2,3] eine Lösung über reelle Zahlen besitzen. Diese Lösung soll auf 2 Stellen nach dem Komma berechnet werden. Man darf eine Methode eigener Wahl verwenden.

Kann mir das bitte jemand erklären?

von

reicht Dir die Antwort von Roland, oder benötigst Du noch mehr Hilfe?

3 Antworten

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Beste Antwort

Aloha :)

Roland hat die die Lösung ja bereits graphisch gezeigt. Da du das Ergebnis aber auf 2 Nachkommastellen angeben sollst, musst du vermutlich eine Rechnung liefern, denn so genau kann ja nimenad von Hand zeichnen bzw. ablesen. Um das gesuchte \(x\) zu berechnen, schreibst du zunächst die Gleichung so um, dass rechts die \(0\) steht:$$\underbrace{\sin(2x)+0,5x-0,6}_{=: f(x)}\overset{!}{=}0$$Das Ausrufezeichen über dem Gleichheitszeichen bedeutet, dass es sich um eine Forderung handelt. Wir sollen das \(x\) so bestimmen, dass die Forderung erfüllt ist. Auf der linken Seite steht nun eine Funktion, die wir als \(f(x)\) bezeichnen, und von der wir die Nullstelle im Intervall \([2;3]\) finden sollen.

Für Nullstellensuche in einem gegebenen Intervall ist das Newton-Verfahren sehr gut geeignet, weil es schnell konvergiert. Dabei startet man mit einem Näherungswert \(x_0\) für die Nullstelle und berechnet die Tangente \(t_{x_0}(x)\) an die Funktion \(f(x)\) in diesem Punkt \(x_0\):

$$t_{x_0}(x)=f(x_0)+f^\prime(x_0)\cdot\left(x-x_0\right)$$

Dann schaut man, wo diese Tangente die \(x\)-Achse schneidet (also den Wert \(0\) hat)

$$t_{x_0}(x)\overset{!}{=}0$$$$f(x_0)+f^\prime(x_0)\cdot\left(x-x_0\right)\overset{!}{=}0$$$$f^\prime(x_0)\cdot\left(x-x_0\right)\overset{!}{=}-f(x_0)$$$$x-x_0\overset{!}{=}-\frac{f(x_0)}{f^\prime(x_0)}$$$$x\overset{!}{=}x_0-\frac{f(x_0)}{f^\prime(x_0)}$$Diese Stelle nimmt man nun als neuen Näherungswert \(x_1\) für die Nullstelle. Macht man das rekursiv, ergibt sich die Folge:$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^\prime(x_n)}$$Für die hier konkret vorgegebene Funktion \(f(x)\) heißt das:

$$x_{n+1}=x_n-\frac{\sin(2x_n)+0,5x_n-0,6}{2\cos(2x_n)+0,5}\quad;\quad x_0=2,5$$

Schon nach wenigen Schritten ändern sich die zwei ersten Nachkommastelle nicht mehr:

$$x_0=2,5$$$$x_1=2,78943804065393$$$$x_2=2,71670935352646$$$$x_3=2,71273843403675$$$$x_4=2,71272530445413$$

von 18 k

vielen Dank für die ausführliche Erklärung!

Ich kann dieser auch bis zur letzten Funktion folgen, jedoch verstehe ich gerade nicht wie ich auf den wert von x0 komme, wie ich die weiteren Werte einsetzt und vor allem wohin das Intervall verschwunden ist...

ok, ich habe mich ausführlist weiter informiert und denke jetzt, dass soweit ganz verstanden zu haben. Ich habe als Startwert einfach mal X = 2 genommen, weil er am Rand des Intervalls lag, ist das falsch? Denn irgendwie scheitere ich noch an der Berechnung per Taschenrechner.

Jetzt habe ich es ganz verstanden und kann es berechnen!


Danke nochmals!

Danke dir :)

Beim Newton-Verfahren für Funktionen mit mehreren Nullstellen ist es oft gefährlich, die Ränder von dem vorgegebenen Intervall als Startwert zu wählen, weil das Newton-Verfahren dann eventuell zu einer Nullstelle außerhalb des Intervalls konvergiert. Wenn du für den Startwert \(x_0=2\) also Schwierigkeiten hattest, bist du vermutlich in die Nullstelle links davon abgedriftet (die liegt bei etwa 1,696).

Daher habe ich mir angewöhnt, immer die Mitte des Intervalls als Startwert zu nehmen. Hier ist das Intervall \([2;3]\) vorgegeben, und die Mitte ist: \(x_0=2,5\).

+2 Daumen

Als Lösungsmethode ist hier nur ein Näherungsverfahren tauglich (Newton, Regula falsi, GTR o.ä.). Zur Kontrolle x≈2,71.

von 66 k 🚀

Plot:

~plot~ sin(2x)+0,5x;0.6 ~plot~

Es gibt sogar drei Lösungen:

x ≈ 0.248039
x ≈ 1.69614
x ≈ 2.71273

Bestätigt durch https://www.wolframalpha.com/input/?i=sin(2x)+%2B+0.5x+%3D+0.6

Es gibt sogar drei Lösungen:

Lt. Aufgabenstellung

... soll im Intervall [2,3] eine Lösung über reelle Zahlen besitzen. Diese Lösung ...

ist nur die eine gesucht.

Im Intervall [2 ; 3] hat die Gleichung nur genau eine Lösung und diese ist gesucht.

x ≈ 2.71

Stimmt. Danke für den Hinweis. Ich hatte das Intervall überlesen.

~plot~ sin(2x)+0,5x;0,6;x=2;x=3;{2.713|0.6} ~plot~

0 Daumen

Du suchst die Nullstellen

y = SIN(2·x) + 0.5·x - 0.6 = 0 

im Intervall [2 ; 3]

mache also zunächst eine Wertetabelle

x 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0
y -0.36 -0.42 -0.45 -0.44 -0.40 -0.31 -0.18 -0.02 0.17 0.39 0.62

Wir sehen das die Nullstelle wohl im Intervall [2.7 ; 2.8] liegen muss und machen eine neue Wertetabelle

x 2.70 2.71 2.72 2.73
2.74
2.75
2.76
2.77
2.78
2.79
2.80
y -0.02 -0.005 0.01 0.03 0.05 0.07 0.09 0.11 0.13 0.15 0.17

Jetzt konnte man mit dem Intervall [2.71 ; 2.72] fortfahren und zwar so lange bis man die Nullstelle mit einer gewünschten Genauigkeit gefunden hat.

Man kann auch das Intervallhalbierungsverfahren (https://de.wikipedia.org/wiki/Bisektion) anwenden. Das braucht man aber nur wenn der Taschenrechner keine kleine Wertetabelle berechnen kann und man ein Verfahren braucht was etwas weniger Berechnungen benötigt.

(2.0 | -0.36) ; (3.0 | 0.62)
(2.5 | -0.31) ; (3.0 | 0.62)
(2.5 | -0.31) ; (2.75 | 0.07)
(2.625 | -0.15) ; (2.75 | 0.07)
(2.6875 | -0.04) ; (2.75 | 0.07)
(2.6875 | -0.04) ; (2.71875 | 0.01)
(2.703125 | -0.02) ; (2.71875 | 0.01)
(2.7109375 | -0.003) ; (2.71875 | 0.01)

Nach 8 Schritten hat man jetzt x = 2.71 gefunden.

von 309 k 🚀

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