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Aufgabe:

Screenshot from 2019-08-14 14-03-53.png  Der Ausdruck ist nur symbolisch. Wennmman G(z) für N= 1, 2 oder 3 berechnet sieht man, dass der Nenner unter Form von (N+1)* z^{N} ist. Daraus folgt, dass das Realteil |(N+1)* z^{N }| ist und ich möchte die Werte erfahren für denen Modulo größer 1 ist.


Wie kann man erfahren für welche Werte von ai der Ausdruck |(N+1)*( z^{N }| >1 wenn \(a_i = \frac{1}{N+1} \)?

von

1 Antwort

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Aufgabe (a) ist eine normale geometrische Reihe, siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe

Wenn Du das berechnet hast, den Betrag und das Argument auf dem Einheitskreis berechnen.

Zu (b) Was ist das kriterium bei Euch für instabilität?

von 24 k

Hallo und vielen Dank!

Ja, Punkt a war einfach, das Problem ist bei Pkt. b. Ein Tiefpass ist instabil wenn das Realteil von z außerhalb des Einheitskreises liegt. darum habe ich G(z) für mehrere N's gerechnet und festgestellt, dass der Nenner unter Form von |(N+1)* zN| ist. Also wenn N= 1/ai-1 größer als Null ist, dann wird das System instabil? also für ai <1?

Hi, die Übertragungsfunktion ergibt sich zu

$$ \frac{1}{N+1} \sum_{i=0}^N z^{-i} = \frac{1}{N+1} \frac{ \sum_{i=0}^{N} z^i }{ z^N }  $$

Damit hat die Übertragungsfunktion nur Polstellen im Ursprung und ist somit immer stabil.

Die Übertragunsfuntion hat \( N \) Nullstellen, die auf dem Einheitskreis liegen und zwar von der Form \( e^{ i \frac{2 \pi}{n+1} k }  \) mit \( k = 1 ... n \)

Das sieht dann so aus:

Amplitudengang für \( n = 3 \)

Ampltitude.JPG

Phasenverlauf für \( n = 3 \)

Phase.JPG


Nullstellen für \( n = 6 \)

Nullstellen.JPG

  

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