0 Daumen
329 Aufrufe

Bestimme \( \lim\limits_{x\to\infty} \) (x·ln\( \frac{x+1}{x-1} \)). Wie löst man dies Problem?

Avatar von 123 k 🚀

Du könntest alternativ auch x als 1/(1/x) schreiben und l'Hospital anwenden.

3 Antworten

0 Daumen

Benutze, dass  a*ln b = ln b^a  ist.

Avatar von

Meine Frage sollte helfen, die unmittelbar davor gestellte Frage zu beantworten. Drehen wir uns jetzt im Kreise?

Formulieren wir es mal so :  Ich versuche, euch von eurem überaus unnützen Umweg zurückzuholen.

0 Daumen

Indem man sich an die Defnition der Exponentialfunktion erinnert.

(Und nicht ständig mit Hospital ankommt!)

Avatar von 37 k
0 Daumen

lim (x → ∞) x * ln((x + 1)/(x - 1))

= lim (x → ∞) x * ln((x - 1 + 2)/(x - 1))

= lim (x → ∞) x * ln(1 + 2/(x - 1))

= lim (x → ∞) ln((1 + 2/(x - 1))^x)

Schauen wir uns das Argument an

lim (x → ∞) (1 + 2/(x - 1))^x

mit z = x - 1 bzw. x = z + 1

= lim (x → ∞) (1 + 2/z)^(z + 1)

= lim (x → ∞) (1 + 2/z)^z * (1 + 2/z) = e^2 * 1 = e^2

Kommen wir zurück zum Logarithmus

lim (x → ∞) ln((1 + 2/(x - 1))^x) = ln(e^2) = 2

Avatar von 477 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community