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1568657974701818420680400721413.jpg 15686580030582252049152485133996.jpg Aufgabe:

Ein Tunnel soll die Form eines Rechtecke mit aufgesetzten Halbkreis erhalten. Wie groß ist die Querschnittsfläche maximal, wenn der Umfang des Tunnels 20m betragen soll?

(als Umfang zählt das Bodenstück nicht mit, also nur Seiten und Dach)

Problem/Ansatz:

Das Ergebnis das ich heraus bekomme macht irgendwie keinen Sinn, findet jemand meinen Fehler?

!

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Ich würde ja deinen Fehler finden wenn Rechengang und Lösung dastehen würden..

3 Antworten

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Extremwertaufgabe:

Tunnel hat die Form eines Rechtecks mit aufgesetztem Halbkreis. Es geht um die Querschnittsfläche A, die sich aus der Fläche des Rechtecks Ar und der des Halbkreises Ah zusammensetzt.

Dabei ist

Ar=abA_r = a*b

und

Ah=π4d212A_h= \frac{π}{4}*d^2*\frac{1}{2}

wobei d=b (kann auch a sein, je nachdem wie du dein Rechteck definierst).


Somit

Ah=π8b2A_h=\frac{π}{8}*b^2

und

A=Ar+Ah=ab+π8b2=b(a+π8b)=f(b)A=A_r+A_h=a*b+\frac{π}{8}b^2=b*(a+\frac{π}{8}b)=f(b)


Umfang des Tunnels u aus Umfang des Rechtecks (ohne eine Seite b, da Halbkreis direkt aufgesetzt) und des Halbkreises (d=b):

u=[b+2a]+[π2b]=20u=[b+2*a]+[\frac{π}{2}*b]=20

Umstellen nach a:

a=20π2bb2=10π4bb2a=\frac{20-\frac{π}{2}b-b}{2}=10-\frac{π}{4}b-\frac{b}{2}

Oben einsetzen liefert Zielfunktion:

f(b)=b(a+π8b)=b(10π4bb2+π8b)=b(10π8bb2)=10bπ8b2b22f(b)=b*(a+\frac{π}{8}b)=b*(10-\frac{π}{4}b-\frac{b}{2}+\frac{π}{8}b)=b*(10-\frac{π}{8}b-\frac{b}{2})=10b-\frac{π}{8}b^2-\frac{b^2}{2}


Bedingung für b (aus Nullstellenberechnung):

804+π>b>0\frac{80}{4+π}>b>0


Maxima der Zielfunktion bestimmen:

Notwendige Bedingung: f'(b)=0

f(b)=10π4bb=0f'(b)=10-\frac{π}{4}b-b=0

π4b+b=10\frac{π}{4}b+b=10

b(π4+1)=10b(\frac{π}{4}+1)=10

b=40π+45,6b=\frac{40}{π+4}≈5,6

Hinreichende Bedingung: f''(b)<>0 (hier Maxima gesucht also f''(b)<0)

f(b)=π41<0f''(b)=-\frac{π}{4}-1 < 0


Nun noch auf globale Maxima überprüfen:

limb0f(b)=0\lim\limits_{b\to0}f(b)=0

limb804+πf(b)=0\lim\limits_{b\to\frac{80}{4+π}}f(b)=0


Also b≈5,6 , dies dann in die Zielfunktion eingeben:

f(5,6)Amax28f(5,6) ≈ A_{max} ≈ 28


Antwortsatz: Die maximale Querschnittsfläche des Tunnels wird bei der Breite b des Rechtecks von b≈5,6m und einem Umfang der Querschnittsfläche von 20m einen Betrag von 28m2 haben.

Avatar von 2,9 k

b soll nach Voraussetzung beim Umfang weggelassen werden.

Dann ändert sich in meiner Rechnung folgendes:

a=10π4ba=10-\frac{π}{4}b

f(b)=10bπ8b2f(b)=10b-\frac{π}{8}b^2


Bedingung für b:

80π>b>0\frac{80}{π}>b>0


f(b)=10π4bf'(b)=10-\frac{π}{4}b

f(b)=π4f''(b)=-\frac{π}{4}

Somit nach notwendiger Bedingung f'(b)=0 ergibt sich:

b=40πb=\frac{40}{π}

Hinreichende Bedingung f''(b)<>0 ergibt Hochpunkt:

f(b)=π4<0f''(b)=-\frac{π}{4} < 0


Globale Maxima überprüfen:

limb0f(b)=0\lim\limits_{b\to0}f(b)=0

limb80πf(b)=0\lim\limits_{b\to\frac{80}{π}}f(b)=0


Somit Lösung

b=40π12,73b=\frac{40}{π}≈ 12,73

und

f(40π)63,66f(\frac{40}{π})≈ 63,66


Antwortsatz: Die maximale Querschnittsfläche des Tunnels wird bei der Breite b des Rechtecks von b≈12,73m und einem Umfang der Querschnittsfläche von 20m einen Betrag von 63,66m2 haben.

Und damit ist a=0. Das Rechteck fällt weg.

Nach kurzem Überlegen logisch, schließlich ist ein Rechteck ohne Boden und der Seite, die dem Boden gegenüber liegt, auch kein Rechteck sondern 2 Strecken. Da hat dann die Aufgabe einen logischen Fehler..

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Meiner Meinung nach hast du keinen Fehler gemacht. Wenn die Voraussetzung stimmt, dass der Boden nicht mitzählt, hat ein Halbkreis den  größten Flächeninhalt. Das Rechteck hat die Höhe 0 und verschwindet.

Falls der Boden beim Umfang mitzählt, muss die Rechnung so wie bei NeverGiveUp aussehen.

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r nach Berechnung = 20 / PI = 6.37 m
=> h = 0 m
hat den größten Flächeninhalt
Der Halbkreis  A = 63.66 m2

Eine tatsäclich etwas ungewöhnliche Lösung.
Bei anders gewählten Umfängen kommen u.a.
andere Ergebnisse mit Seitenwandhöhe heraus.

Aufgabentext
" Ein Tunnel soll die Form eines Rechtecks .... "
stimmt schon einmal nicht.
Ist der Aufgabentext richtig ?
Stell einmal ein Foto ein.

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