Geschwindigkeiten, Schnittwinkel zwischen Geraden

Question

Aufgabe:

Ein Flugzeug bewegt sich auf einer geradlinigen Bahn im Steigflug.

Von der Bodenstation B(0/0/0) aus wird es zunächst im Punkt P1(-1/3/2) und 5 Sekunden später im Punkt P2(0/4/2,5) geortet.

Die Koordinaten sind in km angegeben.

a)Berechnen Sie die Durchschnittsgewindigkeit des Flugzeuges

b)Berechnen Sie den Winkel P1BP2

c)Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes P3, indem das Flugzeug die Höhe 4,5 km erreicht

d)Etwas später lässt sich infolge eines technischen Defektes nur noch die Richtung des Punktes P4(1/1,8/w) anpeilen. Bestimmen Sie die Höhe w in diesem Punkt

e)Die Sichtweite beträgt 4km. Wie lange ist das Flugzeug von der Bodenstation aus zu sehen.

Problem/Ansatz:

Ich würde gerne die genauen Rechenschritte wissen, wir haben gerade mit dem Thema angefangen

Comments

Ich habe Dir zur Anschauung die Angaben aus der Aufgabenstellung und der Lösung in Geoknecht3D eingezeichnet. Klicke auf das Bild, dann kannst Du die Szene 3-dimensional betrachten.

Welche Punkte, Geraden und Ebenen was bedeutet, bekommst Du sicher selbst heraus ;-)

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Sieht gut aus.

Wenn jetzt noch eine Kugel mit dem Mittelpunkt B und dem Radius 4 hinzugefügt wird, illustriert das Aufgabe e).

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Danke für die 3D Ansicht, so kann man sich das besser vorstellen.

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Wenn jetzt noch eine Kugel mit dem Mittelpunkt B und dem Radius 4 hinzugefügt wird, illustriert das Aufgabe e).

dafür steht der Punkt $S$.

Btw: Kugel hinzufügen geht mit kugel(0|0|0 8)

Answer 1

b) Den Winkel berechnest du mit dem Skalarprodukt. Da B(0|0|0) ist, können die Ortsvektoren von P₁  und P₂ verwendet werden.

$\cos \alpha =\dfrac{ \begin{pmatrix} -1\\ 3\\ 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\ 4 \\ 2,5 \end{pmatrix} }{\sqrt{1+9+4}\cdot\sqrt{0+16+6,25}}=\dfrac{12+5}{\sqrt{14\cdot 22,25}}\\ \cos\alpha\approx 0,96320758943 \Longrightarrow \alpha \approx 15,5904046447°$

c) Von P₁ nach P₂ steigt das Flugzeug um 0,5km. Um von P₂ auf eine Höhe von 4,5km zu steigen muss es um 4·0,5km steigen. Zum Ortsvektor $\overrightarrow{OP_2}$ muss also viermal der Richtungsvektor $\overrightarrow{P_1P_2}$ addiert werden.

$\overrightarrow{OP_3} = \overrightarrow{OP_2} + 4\cdot \overrightarrow{P_1P_2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 2,5 \end{pmatrix} + 4 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0,5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4\\ 8 \\ 4,5 \end{pmatrix}$

$P_3(4|8|4,5)$

e) $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 2,5 \end{pmatrix} +r\cdot \begin{pmatrix} 1\\ 1 \\ 0,5 \end{pmatrix}$

$|\vec{x}|=4=\sqrt{r^2+(4+r)^2+(2,5+0,5r)^2}$

Quadrieren, damit die Wurzel wegfällt.

$16=r^2+(4+r)^2+(2,5+0,5r)^2$

Die quadratische Gleichung muss nun noch gelöst werden. Mit dem Wert für r können dann die gesuchten Ortsvektoren berechnet werden. Da das Flugzeug pro Sekunde um 0,1km steigt, muss die dritte Koordinate mit 10 multipliziert werden, um die gesuchte Zeit zu erhalten.

$16= r^2 +16 +8r +r^2 + 6,25 +2,5r +0,25r^2$

$0= 2,25r^2 + 10,5r +6,25\quad |:2,25$

$0= r^2 + \frac{14}{3}r+ \frac{25}{9}$

$r_{12}=-\frac{7}{3}\pm\sqrt{\frac{49}{9}-\frac{25}{9}}$

$r_1 = -3,9663 \quad; \quad r_2=-0.70034$

Da die Flugdauer mit der Höhe berechnet werden kann, bestimmen wir nur die 3. Koordinaten der beiden Punkte.

$x_{3}=2,5 + r\cdot 0,5$

$x_{31}=2,5 -3,9663\cdot 0,5=0,5168 \quad;\quad x_{32}=2,5 -0,70034\cdot 0,5= 2,1498$

Die Differenz beträgt 1,6330. Mit 10 multipliziert erhalten wir t=16,33s.

Das Flugzeug ist 16,33 Sekunden von der Bodenstation aus zu sehen.

d) Wenn $P_4$ in der Ebene liegt, die durch $P_1$, $P_2$ und $B$ gegeben ist, muss folgende Gleichung gelöst werden.

$\begin{pmatrix} 1\\ 1,8 \\ w \end{pmatrix} = r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 2,5 \end{pmatrix} +s\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0,5 \end{pmatrix}$

1 = 0r + 1s (I)

1,8= 4r+1s (II)

w=2,5r+0,5s (III)

(I) ergibt s=1.

(II) 1,8=4r+1 liefert r=0,2

(III) w=2,5·0,2 +0,5=1

Die Höhe beträgt 1 Kilometer.

Comments

Ist dann der Winkel 15,59 °?

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ich hab es übersehen. Danke :) ich habe genau das gleiche Ergebnis raus

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Ich speichere Zwischenlösungen und bearbeite sie dann weiter. Das Tippen der LaTeX-Formeln dauert aber immer etwas länger. :)

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Ja okay ich schaue mir auch die Aufgaben Schritt für Schritt an und rechne sie durch.

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Ist O die Bodenstation B(0/0/0)?

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OP2=(0/4/2,5)-(0/0/0)=(0/4/2,5)

IST DAS RICHTIG?

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Ja. Aus Gewohnheit nehme ich immer O für den Punkt (0|0|0).

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Ist dann P3(4/8/4,5)?Habe ich das richtig berechnet?

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OP3=OP2+4⋅P1P2= (0/4/2,5)+4*(1/1/0,5)=(4/8/4,5)

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Hab meinen Vorzeichenfehler gerade bemerkt.

Bei d) ist mir nicht klar, von wo aus P₄ angepeilt wird. Auf der Bahn des Flugzeuges liegt der Punkt ja nicht.

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Ist das nicht die Abstandsformel, also der kürzeste Weg?

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Die Abstandsformel brauchst du bei e), weil da der Ortsvektor der Geraden mit dem Betrag 4 gesucht ist.

Du kannst den Rest jetzt sicher alleine lösen? Quadratische Gleichung: Kennst du die pq-Formel?

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Ja PQ-Formel sagt mir was, habe jetzt für x1=0,6244 und für x2=-25,6244 raus bekommen

Da die quadratische Gleichung keine Lösung hat, ist das Flugzeug von der Bodenstation aus gar nicht zu sehen. (Oder ich habe mich verrechnet.)

Meine Rechnung:

16=r2+(4+r)2+(2,5+0,5r)2

-25/2+-Wurzel(25/2)²-(-16)

-12,5+-Wurzel156,25+16

-12,5+-13,1244

r1=0,6244 und r2=-25,6244

Aber dann hast du ja auch Lösungen raus. Mir ist nicht klar wie du das gelöst hast :

16=r2+16+8r+r2+6,25+2,5r+0,25r2

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Auf beiden Seiten 16 subtrahieren.

r² +r² +0,25 r² = 2,25 r²

8r+2,5r=10,5r

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Zur pq-Formel:

Die darf nur angewendet werden, wenn die Gleichung die Form

0 = r²+pr+q bzw. 0=x²+px+q hat.

Als ich "keine Lösung" geschrieben habe, hatte ich mich verrechnet.

Jetzt müsste es aber stimmen. Hoffe ich.

Hat Spaß gemacht, weil du auch Interesse gezeigt hast.

Tschüß.

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Da die Flugdauer mit der Höhe berechnet werden kann, bestimmen wir nur die 3. Koordinaten der beiden Punkte.
 inkl. deiner Rechnung oben.

Warum muss ich mit 0,5 multiplizieren?

Ja ich finde es hat auch Spaß gemacht, ich habe Schritt für Schritt gelernt das ist sehr gut:)

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Sieh dir die Geradengleichung am Anfang von e) an.

Die 3. Koordinatengleichung lautet x₃ = 2,5+r·0,5

In die setzt du beide Lösungen für r ein.

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Zu Aufgabe d) vermute ich, dass P₄ in der Ebene liegen soll, die durch die Punkte B, P₁  und P₂ gegeben ist.

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Also d) ist richtig.

Zu Aufgabe e) habe ich allerdings nochmal eine Frage:

Und zwar wie ich die Quadratische Gleichung löse...

16=r²+16+8r+r²+6,25+2,5r+0,25r² I-16 (hast du die Binomische Formel angewendet?)

und wie kommst du dann auf die anderen Zahlen, könntest du mir das nochmal detailliert aufschreiben, das wäre lieb, sonst kann ich es nicht nachvollziehen :)

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16 = r² + 16 + 8r + r² + 6,25 + 2,5r + 0,25r²

Auf beiden Seiten die 16 wegnehmen

0 = r² + 8r + r² + 6,25 + 2,5r + 0,25r²

Summanden sortieren

0 = r² + r² + 0,25r² + 8r + 2,5r + 6,25 

Zusammenfassen

0 = 2,25r² + 10,5r + 6,25 

So verstanden?

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Ja danke sehr nett jetzt habe ich es verstanden :)

Answer 2

_{$\vec{P_1P_2}$ = $\begin{pmatrix} 1\\1\\0,5 \end{pmatrix}$}

a)Berechnen Sie die Durchschnittsgewindigkeit des Flugzeuges

Die Länge des Weges von P₁ nach P₂ ist der Betrag des Vektors $\vec{P_1P_2}$

$\sqrt{1^2+1^2+0,5^2}$ =1,5 km

1,5 km in 5 sec entspricht 1080 km/h