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Aufgabe:

Ein Flugzeug bewegt sich auf einer geradlinigen Bahn im Steigflug.

Von der Bodenstation B(0/0/0) aus wird es zunächst im Punkt P1(-1/3/2) und 5 Sekunden später im Punkt P2(0/4/2,5) geortet.

Die Koordinaten sind in km angegeben.


a)Berechnen Sie die Durchschnittsgewindigkeit des Flugzeuges

b)Berechnen Sie den Winkel P1BP2

c)Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes P3, indem das Flugzeug die Höhe 4,5 km erreicht

d)Etwas später lässt sich infolge eines technischen Defektes nur noch die Richtung des Punktes P4(1/1,8/w) anpeilen. Bestimmen Sie die Höhe w in diesem Punkt

e)Die Sichtweite beträgt 4km. Wie lange ist das Flugzeug von der Bodenstation aus zu sehen.


Problem/Ansatz:

Ich würde gerne die genauen Rechenschritte wissen, wir haben gerade mit dem Thema angefangen

von

Hallo Leni,

ich habe Dir zur Anschauung die Angaben aus der Aufgabenstellung und der Lösung in Geoknecht3D eingezeichnet. Klicke auf das Bild, dann kannst Du die Szene 3-dimensional betrachten.

Untitled2.png

Welche Punkte, Geraden und Ebenen was bedeutet, bekommst Du sicher selbst heraus ;-)

Sieht gut aus.

Wenn jetzt noch eine Kugel mit dem Mittelpunkt B und dem Radius 4 hinzugefügt wird, illustriert das Aufgabe e).

Danke für die 3D Ansicht, so kann man sich das besser vorstellen.

Wenn jetzt noch eine Kugel mit dem Mittelpunkt B und dem Radius 4 hinzugefügt wird, illustriert das Aufgabe e).

dafür steht der Punkt \(S\).

Btw: Kugel hinzufügen geht mit 'kugel(0|0|0 8)'.

2 Antworten

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Beste Antwort

b) Den Winkel berechnest du mit dem Skalarprodukt. Da B(0|0|0) ist, können die Ortsvektoren von Pund P2 verwendet werden.

\( \cos\alpha =\dfrac{\pmatrix{-1\\ 3\\ 2}\pmatrix{0\\ 4 \\ 2,5}}{\sqrt{1+9+4}\cdot\sqrt{0+16+6,25}}=\dfrac{12+5}{\sqrt{14\cdot 22,25}}\\ \cos\alpha\approx 0,96320758943 \Longrightarrow \alpha \approx 15,5904046447° \)


c) Von P1 nach P2 steigt das Flugzeug um 0,5km. Um von P2 auf eine Höhe von 4,5km zu steigen muss es um 4·0,5km steigen. Zum Ortsvektor \( \overrightarrow{OP_2} \) muss also viermal der Richtungsvektor \( \overrightarrow{P_1P_2} \) addiert werden.

\( \overrightarrow{OP_3} = \overrightarrow{OP_2} + 4\cdot \overrightarrow{P_1P_2} =\pmatrix{0\\ 4 \\ 2,5}+4\cdot \pmatrix{1\\ 1 \\ 0,5} = \pmatrix{4\\ 8 \\ 4,5} \)

\( P_3(4|8|4,5)\)

e) \( g: \vec{x} =\pmatrix{0\\ 4 \\ 2,5}+r\cdot \pmatrix{1\\ 1 \\ 0,5} \)

\( |\vec{x}|=4=\sqrt{r^2+(4+r)^2+(2,5+0,5r)^2}\)

Quadrieren, damit die Wurzel wegfällt.

\( 16=r^2+(4+r)^2+(2,5+0,5r)^2\)

Die quadratische Gleichung muss nun noch gelöst werden. Mit dem Wert für r können dann die gesuchten Ortsvektoren berechnet werden. Da das Flugzeug pro Sekunde um 0,1km steigt, muss die dritte Koordinate mit 10 multipliziert werden, um die gesuchte Zeit zu erhalten.

\( 16= r^2 +16 +8r +r^2 + 6,25 +2,5r +0,25r^2\)


\(  0= 2,25r^2 + 10,5r +6,25\quad |:2,25\)

\( 0= r^2 + \frac{14}{3}r+ \frac{25}{9}\)

\( r_{12}=-\frac{7}{3}\pm\sqrt{\frac{49}{9}-\frac{25}{9}}\)

\( r_1 = -3,9663 \quad; \quad r_2=-0.70034\)

Da die Flugdauer mit der Höhe berechnet werden kann, bestimmen wir nur die 3. Koordinaten der beiden Punkte.

\(x_{3}=2,5 + r\cdot 0,5 \)

\(x_{31}=2,5 -3,9663\cdot 0,5=0,5168 \quad;\quad x_{32}=2,5 -0,70034\cdot 0,5= 2,1498\)

Die Differenz beträgt 1,6330. Mit 10 multipliziert erhalten wir t=16,33s.

Das Flugzeug ist 16,33 Sekunden von der Bodenstation aus zu sehen.

d) Wenn \(P_4\) in der Ebene liegt, die durch \(P_1\), \(P_2\) und  \(B\) gegeben ist, muss folgende Gleichung gelöst werden.

\(  \pmatrix{1\\ 1,8 \\ w}=r\cdot\pmatrix{0\\ 4 \\ 2,5}+s\cdot \pmatrix{1\\ 1 \\ 0,5} \)

1 = 0r + 1s  (I)

1,8= 4r+1s  (II)

w=2,5r+0,5s  (III)

(I) ergibt s=1.

(II) 1,8=4r+1 liefert r=0,2

(III) w=2,5·0,2 +0,5=1

Die Höhe beträgt 1 Kilometer.

von

Nun müsste die Aufgabe gelöst sein.

Dann machst du Abendschule?

Schreib mal, falls deine Lehrkraft eine andere Lösung hat.

Ja genau ich mache Abendschule. Genau ich frage heute und dann gebe ich bescheid. Danke für deine Hilfe!!!

Also d) ist richtig.

Zu Aufgabe e) habe ich allerdings nochmal eine Frage:

Und zwar wie ich die Quadratische Gleichung löse...

16=r^2+16+8r+r^2+6,25+2,5r+0,25r^2 I-16 (hast du die Binomische Formel angewendet?)

und wie kommst du dann auf die anderen Zahlen, könntest du mir das nochmal detailliert aufschreiben, das wäre lieb, sonst kann ich es nicht nachvollziehen :)

16 = r^2 + 16 + 8r + r^2 + 6,25 + 2,5r + 0,25r^2

Auf beiden Seiten die 16 wegnehmen

0 = r^2 + 8r + r^2 + 6,25 + 2,5r + 0,25r^2

Summanden sortieren

0 = r^2 + r^2 + 0,25r^2 + 8r + 2,5r + 6,25 

Zusammenfassen

0 = 2,25r^2 + 10,5r + 6,25 

So verstanden?

Ja danke sehr nett jetzt habe ich es verstanden :)

+1 Daumen

\( \vec{P_1P_2} \) = \( \begin{pmatrix} 1\\1\\0,5 \end{pmatrix} \)

a)Berechnen Sie die Durchschnittsgewindigkeit des Flugzeuges

Die Länge des Weges von P1 nach P2 ist der Betrag des Vektors \( \vec{P_1P_2} \)

\( \sqrt{1^2+1^2+0,5^2} \) =1,5 km

1,5 km in 5 sec entspricht 1080 km/h

von 62 k

super verstanden, könntest du mir auch bei den anderen Aufgaben helfen?

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