Gruppe bestimmen - Matrix

Question

Hallo :)

Die Aufgabe lautet: Z.z. G ist eine Gruppe bzgl. der Matrizenmultiplikation

G = $$\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix}$$ wobei a,b, d ∈ K, ad≠0

Also man soll ja zeigen das folgende Eigenschaften gelten:

0) Abgeschlossenheit - ja, weil a, b, d Elemente aus K sind

1) Associativ

Da weiß ich nicht wie ich das aufschreiben soll.. :r Wäre das richtig:

A= $$\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix}$$

B= $$\begin{pmatrix} a' & b' \\ 0' & d' \end{pmatrix}$$

Und dann zeigen das AB = BA ?

2) Inverse

Da es schon in der Aufgabe gegeben ist: ad≠0 kann ich da die Inverse berechnen.

3)Neutrales element

Da ich A^-1 habe, habe ich auch ein neutrales Element.

Ich bin mir aber nicht sicher ob es so stimmt, über ein Feedback würde ich mich freuen. :)

Vielen Dank! :)

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Und dann zeigen das AB = BA ?

Was hat das mit Assoziativität zu tun?

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2) Inverse

Da es schon in der Aufgabe gegeben ist: ad≠0 kann ich da die Inverse berechnen.

3)Neutrales element

Da ich A^-1 habe, habe ich auch ein neutrales Element.

Du musst bei diesen Schritten die Reihenfolge vertauschen, so funktioniert es nicht.

Answer 1

Aloha :)

Abgeschlossenheit:

$$\left(\begin{array}{c}a & b\\0 & d\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}a' & b'\\0 & d'\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}aa' & ab'+bd'\\0 & dd'\end{array}\right)$$Wegen \(ad\ne0\) und \(a'd'\ne0\) ist auch \(aa'\ne0\) und \(dd'\ne0\).

Assoziativität:

$$\left[\left(\begin{array}{c}a & b\\0 & d\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}a' & b'\\0 & d'\end{array}\right)\right]\cdot\left(\begin{array}{c}a'' & b''\\0 & d''\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}aa' & ab'+bd'\\0 & dd'\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}a'' & b''\\0 & d''\end{array}\right)$$$$=\left(\begin{array}{c}aa'a'' & aa'b''+d''(ab'+bd'))\\0 & dd'd''\end{array}\right)$$$$\left(\begin{array}{c}a & b\\0 & d\end{array}\right)\cdot\left[\left(\begin{array}{c}a' & b'\\0 & d'\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}a'' & b''\\0 & d''\end{array}\right)\right]=\left(\begin{array}{c}a & b\\0 & d\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}a'a'' & a'b''+b'd''\\0 & d'd''\end{array}\right)$$$$=\left(\begin{array}{c}aa'a'' & aa'b''+d''(ab'+bd'))\\0 & dd'd''\end{array}\right)$$$$\Rightarrow\quad (A\cdot A')\cdot A''=A\cdot(A'\cdot A'')$$

Neutrales Element: \(E:=\left(\begin{array}{c}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right)\)

$$\left(\begin{array}{c}a & b\\0 & d\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}a\cdot1 & a\cdot0+b\cdot1\\0 & d\cdot1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}a & b\\0 & d\end{array}\right)$$$$\left(\begin{array}{c}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}a & b\\0 & d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\cdot a & 1\cdot b+0\cdot d\\0 & 1\cdot d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}a & b\\0 & d\end{array}\right)$$$$\Rightarrow\quad A\cdot E=E\cdot A=A$$

Inverses Element: \(A^{-1}=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{a} & -\frac{b}{ad}\\0 & \frac{1}{d}\end{array}\right)\)

Beachte, dass wegen \(ad\ne0\) insbesondere \(a\ne0\) und \(b\ne0\) gilt, sodass alle Elemente der Inversen definiert sind.

$$\left(\begin{array}{c}a & b\\0 & d\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}\frac{1}{a} & -\frac{b}{ad}\\0 & \frac{1}{d}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}a\cdot\frac{1}{a} & a\cdot\left(-\frac{b}{ad}\right)+\frac{b}{d}\\0 & d\cdot\frac{1}{d}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right)$$$$\left(\begin{array}{c}\frac{1}{a} & -\frac{b}{ad}\\0 & \frac{1}{d}\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}a & b\\0 & d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{a}\cdot a & \frac{1}{a}\cdot b-\frac{b}{ad}\cdot d\\0 & \frac{1}{d}\cdot d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right)$$$$\Rightarrow\quad A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=E$$

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Vielen Dank! :)

Answer 2

0) Abgeschlossenheit - ja, weil a, b, d Elemente aus K sind

Das passt nicht ganz. Du musst ja zeigen, dass 2 Matrizen dieses Typs

bei Multiplizieren wieder eine Matrix dieses Typs ergeben.

Etwa so 

 $$ Seien A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix}$$

 $$ und B = \begin{pmatrix} e & f \\ 0 & h \end{pmatrix}$$

mit abdefh aus K dann ist

 $$ A*B = \begin{pmatrix} ae & af+bh \\ 0 & dh \end{pmatrix}$$

also wieder eine Matrix diesen Typs, da links unten die 0 steht

und die anderen alle wieder aus K sind.

Für die Assoziativität brauchst du

(A*B)*C = A*(B*C)    #

geht so ähnlich. Mache wieder so Ansätze wie A=… B=… C=….

und zeige #

Neutrales El ist

$$ E = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

und das Inverse von

 $$  A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix}$$

ist

 $$  A ^{-1}= \begin{pmatrix} 1/a & -b/(ad) \\ 0 & 1/d \end{pmatrix}$$

und das klappt, weil a und d beide nicht 0 sind.

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Vielen Dank! :)