Beweis der Differenzierbarkeit

Question

Vorab mal wieder Danke an jeden!

Aufgabe:

Beispiel Aufgaben, wo ich nicht weiterkomme:

Problem/Ansatz:

Das Problem ist, dass wir im Unterricht gar nicht den Differentialqutienten behandelt haben, d.h das ich gar nicht weiß wie ich bei einer Funktion bestimmen soll, ob er an einem bestimmten Punkt differenzierbar ist? Teilweise glaube ich, dass das mit dem Betrag zusammenhängt, aber wie genau... kA.

Answer 1

Zu 1a) Gucke dir mal den Funktionterm mal ganz genau an. Dann fällt dir auf, dass du den Zähler ganz einfach umschreiben kannst, und dein Funktionsterm wird sehr viel einfacher. Damit kannst du auch schnell sehen, ob Stetigkeit und Diffbarkeit für alle x∈ℝ gegeben ist.

Zu 2a) Schaue ob der linksseitige und rechtsseitige Grenzwert zur Stelle x=0 übereinstimmen. Ist das dort der Fall, so ist f bei x=0 stetig. Zur Differenzierbarkeit kannst du dir das Resultat so herleiten:

$$ f(x)=|x|=\sqrt{x^2},\quad f'(x)=\frac{1}{2\cdot \sqrt{x^2}}\cdot 2\cdot x=\frac{x}{|x|} $$

Für f'(0) erhältst du aber "0/0", was nicht eindeutig berechenbar ist. Man kann also bei x=0 beliebig viele Tangenten anlegen, sodass also f an dieser Stelle nicht diffbar ist.

Zu 2b) Zur Stetigkeit wieder wie bei 2a. Zur Diffbarkeit bei x=3 kannst du entweder den Limes bilden oder berechnest direkt die Ableitung (wenn ihr es schon hattet) von g also g' und schaust, ob g'(-3) existiert.

Zu 3) Zur Stetigkeit musst du dir die Ränder der jeweiligen Abschnittsfunktionen anschauen, ob die Werte der Abschnittsfunktionen an den Rändern alle übereinstimmen. Zur Diffbarkeit musst du die Ableitungswerte an den Rändern der Abschnittsfunktionen betrachten. Sind diese gleich, liegt Diffbarkeit vor.

EDIT: Und wenn ihr den Differentialqoutienten also Limes noch nicht hattet (was etwas komisch ist), dann plotte dir doch einfach mal die Funktionsgraphen und gucke so, ob es möglich ist, an den jeweils angegebenen Stellen eine Tangente zu legen, bzw, ob sie stetig sind.

Comments

Das Ding ist eher, dass ich das ganze Verfahren nicht wirklich gelernt habe, wir hatten sonst immer 2 Funktionen und haben dann die Ableitung gebildet und gesagt, dass wenn das selber rauskommt die Differenzierbar sind (Ohne Ableitung, wenn die Stetigkeit bewiesen werden sollte).

Funktioniert zwar hier auch, aber mich würde halt die mathematisch korrekte Schreibweise interessieren. (Linksseitig, Rechtsseitig)

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Zu 3) (...) Zur Diffbarkeit musst du die Ableitungswerte an den Rändern der Abschnittsfunktionen betrachten. Sind diese gleich, liegt Diffbarkeit vor.

Damit ist lediglich gezeigt, dass die Ableitung an den Abschnittsgrenzen stetig ergänzt werden kann.

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@ Gast az0815

Ist aber gerade bei solchen Funktionen mit Fallunterscheidung besonders wichtig. Die einzelnen Abschnittsfunktionen müssen natürlich ebenfalls in den vorgegebenen Definitionsbereich überprüft werden.

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Mich stört eigentlich eher die Schlussrichtung bei "Sind diese gleich, liegt Differenzierbarkeit vor.".

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@ PineappleGirl

Du kannst bei einer abschnittsdefinierten Funktion so vorgehen:

$$ h(x)=\begin{cases}x,\quad x<0\\x^2,\quad x\geq 0 \end{cases} $$

Offenbar kann man für beide Abschnittsfunktionen alle Werte im vorgegebenen Definitionsbereich einsetzen, sodass dort jeweils Stetigkeit vorliegt.

Nun zu den Rändern:

x=0 ist hier offenbar die kritische Stelle. Du musst nun den linksseitigen bzw. rechtsseitigen Grenzwert von h zur Stelle x=0 betrachten.

Für x<0 hat man $$ \lim_{x\to 0^{-}} h(x)=\lim_{x\to 0^{-}} x=0$$

Für x≥0 hat man $$\lim_{x\to 0^{+}} h(x)=\lim_{x\to 0^{+}} x^2=0 $$

Beide Grenzwerte stimmen überein, sodass auch an der kritischen Stelle x=0 Stetigkeit vorliegt.

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So ein Schluss, der nur für stetige Funktionen zutrifft, ist als Nachweis der Stetigkeit herzlich ungeeignet.

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@ Gast hj2166

Anstelle hier so eine inhaltsleere Antwort abzugeben, die nur für Unsicherheit des Fragestellers sorgt, solltest du besser mal konkrete Antworten/Komentare liefern, bzw. mal genau die Punkte ansprechen, die vielleicht ungenau sind.

Answer 2

zu 1.a) An der Stelle \(x=-1\) ist die Funktion f nicht definiert, also sicher auch weder stetig noch differenzierbar. Als rationale Funktion ist sie an allen übrigen Stellen stetig und nach der Quotientenregel auch differenzierbar. Sie ist sogar beliebig oft stetig differenzierbar, da die Ableitung selbst wieder eine rationale Funktion ist.

Answer 3

(x^2-1)/(x+1) = x-1

-1 ist eine hebbare Definitionslücke.