Aufgabe:
Sei \( X: U \rightarrow \mathbb{R}^{n} \) ein Vektorfeld, \( \mathbf{u}_{0} \in U \) ein Punkt, und \( \delta>0 \) eine Schrittweite. In der Vorlesung haben wir gesehen, wie sich das Eulersche Polygonzugverfahren als Fixpunkt der diskreten Picard-Iteration
\( \tilde{\gamma}_{n+1}(i \delta)=\mathbf{u}_{0}+\sum \limits_{k=0}^{i-1} X\left(\tilde{\gamma}_{n}(k \delta)\right) \delta \)
auffassen läßt. Der Summenterm ist dabei die Näherung eines Integrals durch eine (linkslastige) Riemannsumme. Das Integral läßt sich aber mit gleichem Recht auch durch eine rechtslastige Riemannsumme annähern. Das führt auf die Iterationsformel:
\( \tilde{\gamma}_{n+1}(i \delta)=\mathbf{u}_{0}+\sum \limits_{k=1}^{i} X\left(\tilde{\gamma}_{n}(k \delta)\right) \delta \)
Zeige: Ein Fixpunkt \( \tilde{\gamma} \) der Iterationsformel (1) erfüllt die Bedingung:
\( \tilde{\gamma}((i+1) \delta)-\tilde{\gamma}(i \delta)=X(\tilde{\gamma}((i+1) \delta)) \delta \)
Schlage nach, was das implizite Eulerverfahren ist, und stelle einen Zusammenhang her.
