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Aufgabe:

Ich betrachte die Funktion  \(f: \mathbb{R} \setminus\{0\}\rightarrow \mathbb{R}, \ x\mapsto \frac{x}{|x|} \). Ich will mit der Definition für einseitige Grenzwerte zeigen, das zb der linkseitige Grenzwert

\(\lim_{x \nearrow 0} f(x)=-1\) ist.

Definition. Sei \(f: D\subseteq \mathbb {R} \rightarrow \mathbb{R}\) eine Funktion. Seien \(p,a\in \mathbb{R} \)und \(p\) ein linksseitiger Häufungspunkt von D, also für alle \(\delta>0\) ist \(D \cap ]p-\delta,p[ \neq \{\}\). a ist der linksseitige Grenzwert von \(f(x)\) für \(x \rightarrow p\), wenn gilt:

\(\forall \epsilon>0 \ \exists \delta>0 \ \forall x\in D: p-\delta<x<p \Longrightarrow |f(x)-a|<\epsilon\). (*)


Problem/Ansatz:

Ich zeige zuerst, dass 0 ein linksseitiger Häufungspunkt von \(\mathbb{R} \setminus\{0\}\) ist. Dies ist aber schnell klar, weil hier für jedes \(\delta > 0 \) die Eigenschaft \((\mathbb{R} \setminus\{0\}) \cap ]0-\delta,0[ \neq \{\} \) erfüllt ist.

Nun will ich (*) zeigen. Nur wie kann ich jetzt mein \(\delta > 0\) geschickt wählen, damit gilt:

\(\forall \epsilon>0 \ \exists \delta>0 \ \forall x\in \mathbb{R} \setminus\{0\}: 0-\delta<x<0 \Longrightarrow \Bigg|\frac{x}{|x|}+1\Bigg|<\epsilon\) ?

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Bedenke, dass für x < 0 gilt   |x| = -x .

Also ist  |    x / |x|  + 1 |  =    |    x / -x  + 1 |  =  | -1 + 1 | = 0

und 0<ε gilt immer, also ist die Wahl von δ unerheblich, kannst ja  δ = 1 nehmen.

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