Zeigen, dass Korrespondenz K := {(x, {x}) ∈ M × P(M) | x ∈ M } eine injektive Abbildung ist

Question

Aufgabe:

Es sei M eine beliebige Menge. Zeigen Sie, dass die Korrespondenz

K ⊆ M × P(M) gegeben durch

K := {(x, {x}) ∈ M × P(M) | x ∈ M }

eine injektive Abbildung ist, die niemals surjektiv ist.

Problem/Ansatz:

Leider noch gar kein Ansatz.

Answer 1

Du kannst das vielleicht besser übersehen, wenn du K(x) = {x}  schreibst.

Injektiv ist dann ja klar; denn aus  {x} =  {y}  folgt ja  x = y

und K ist nie surjektiv, denn ∅ kommt als Bild nicht vor.

Comments

Danke schonmal für deine Hilfe, aber was genau bedeutet denn nun

K(x) = {x}

Ich kann nachvollziehen wieso man sich die Korrespondenz auch so aufschreiben kann, aber was genau beutetet hier, dass etwas nach {x} abgebildet wird? Kannst du mir das vielleicht mit einem Beispiel erklären?

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Schreibt man das x in geschweiften Klammern, weil in der Potenzmenge nur (Teil-)Mengen und keine "einzelnen" Elemente drin sind?

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Ich melde mich nochmal mit einem Ansatz einer Lösung, habe aber irgendwie das Gefühl, dass sie so nicht legitim ist:

Da ∀x∈M gilt, dass sie auf {x}∈P(M) abgebildet werden, folgt K^-1(K(x)) = x, d.h. die Menge der Urbilder von {x} ist stets höchstens einelementig, was der Definition von Injektivität entspricht.

Weil {∅}∉M, kommt {∅} auch als Bild der Abbildung K nicht vor, weil nun stets gilt {∅}∈P(M) kann die Abbildung nicht surjektiv sein, da zumindest die leere Menge kein Urbild besitzt.

Über eine Rückmeldung würde ich mich freuen.

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Da ∀x∈M gilt, dass sie auf {x}∈P(M) abgebildet werden, folgt K^-1(K(x)) = x, d.h. die Menge der Urbilder von {x} ist stets höchstens einelementig, was der Definition von Injektivität entspricht.

Ich würde wirklich mit {x} = {y} beginnen und daraus x=y ableiten.

Die Abbildung ist nicht surjektiv , da zumindest die leere Menge kein Urbild besitzt.

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Ich würde wirklich mit {x} = {y} beginnen und daraus x=y ableiten.

Könntest du mir das eventuell einmal zeigen, irgendwie kann ich das nicht so richtig ausführen.

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Seien x,y aus M mit  {x} = {y} .

Dann gilt insbesondere :

Für alle a∈ {x}  gilt a∈ {y} .   #

Sei also a∈ {x} . Da  {x} nur ein Element hat,

muss also gelten a=x. Wegen #

gilt aber auch a∈ {y}. Da auch {y} nur ein

Element hat also auch a=y .

Aus a=x und a=y folgt  x=y .

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Okay, das ist nachvollziehbar, aber wieso zeigt das jetzt Injektivität?

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Es ist doch bei allen Abbildungen so, dass man Injektivität

auf zwei Weisen zeigen kann:

Für alle a,b aus dem Def. Bereich gilt

1.    a ≠ b ==>  f(a) ≠ f(b)

oder auch so:

2.  f(a) = f(b) ==>   a = b .

Das ist logisch gleichwertig.

Answer 2

Danke schonmal für deine Hilfe, aber was genau bedeutet denn nun

K(x) = {x}

Ich kann nachvollziehen wieso man sich die Korrespondenz auch so aufschreiben kann, aber was genau beutetet hier, dass etwas nach {x} abgebildet wird?

https://de.wikipedia.org/wiki/Injektive_Funktion#Eigenschaften

Die erste Eigenschaft erklärt wie die Zuordnung "Korrespondenz" gelesen werden kann.

Korrespondenz ist injektiv, weil zwei verschiedenen Elementen von M immer zwei verschiedene Elemente von P(M) zugeordnet werden.

Die Korrespondenz ist nicht surjektiv, weil man zeigen kann, dass P(M) immer mehr Elemente enthält als M selbst.

Formale Antwort hat mathef bereits hingeschrieben.