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Aufgabe:

Beweisen Sie die Binomialentwicklung aus Folgerung  jetzt 
mittels vollständiger InduktionScreenshot (12).png


Problem/Ansatz:

kann jemand mir dabei helfen , ich danke euch für die Hilfe

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Beste Antwort

Aloha :)

Verankerung bei n=0n=0:

(1+x)0=1;k=00(0k)xk=(00)x0=1(1+x)^0=1\quad;\quad\sum\limits_{k=0}^0\binom{0}{k}x^k=\binom{0}{0}x^0=1\quad\checkmark

Induktionsschritt n(n+1)n\to(n+1):

(1+x)n+1=(1+x)(1+x)n=(1+x)k=0n(nk)xk(1+x)^{n+1}=(1+x)(1+x)^n=(1+x)\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}x^k=k=0n(nk)xk+k=0n(nk)xk+1=1+k=1n(nk)xk+k=0n1(nk)xk+1+xn+1=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}x^k+\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}x^{k+1}=1+\sum\limits_{k=1}^n\binom{n}{k}x^k+\sum\limits_{k=0}^{n-1}\binom{n}{k}x^{k+1}+x^{n+1}=1+k=1n(nk)xk+k=1n(nk1)xk+xn+1=1+\sum\limits_{k=1}^n\binom{n}{k}x^k+\sum\limits_{k=1}^{n}\binom{n}{k-1}x^k+x^{n+1}=1+k=1n[(nk)+(nk1)]xk+xn+1=1+k=1n(n+1k)xk+xn+1=1+\sum\limits_{k=1}^n\left[\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}\right]x^k+x^{n+1}=1+\sum\limits_{k=1}^n\binom{n+1}{k}x^k+x^{n+1}=(n+10)x0+k=1n(n+1k)xk+(n+1n+1)xn+1=k=0n+1(n+1k)xk=\binom{n+1}{0}x^0+\sum\limits_{k=1}^n\binom{n+1}{k}x^k+\binom{n+1}{n+1}x^{n+1}=\sum\limits_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}{k}x^k

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super vielen daaaank

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Verwende (1+x)^(n+1) = (1+x) * (1+x)n

                                  = 1*(1+x)n + x*(1+x)n

und verwende nun die Induktionsannahme, fasse nach Potenzen

von x zusammen  und bedenke

(nk)+(nk+1)=(n+1k+1)\begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} n\\k+1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} n+1\\k+1 \end{pmatrix}

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