Gemeinsamen Berührungspunkt zweier Funktionen beweisen und die Tangentengleichung an der Stelle aufstellen

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass sich die Graphen von f(x)=x^3+1 und g(x) = x^2+x in einem Punkt berühren, und geben Sie die gemeinsame Tangente an.

Problem/Ansatz:

P(x0/f(x0))

P(1/2)

f'(x) = 3x^2 ; g'(x) = 2x+1

Wie stelle ich nun die Tangentengleichung auf?

Answer 1

du berechnest zunächst die Steigung im Punkt P. Die setzt du in die Geradengleichung

y = mx + b

ein. b bestimmt du, indem du die Koordinaten von P in die Gleichung einsetzt und nach b auflöst.

Gruß, Silvia

Answer 2

m=f'(1)= 3 bzw. m=g'(1)=3

t(x)=mx+b

t(1)=2

Also: 2 = 3·1 +b → b=-1

t(x)=3x-1

Answer 3

Zeigen Sie, dass sich die Graphen von f(x)=x^3+1 und g(x) = x^2+x in einem Punkt berühren, und geben Sie die gemeinsame Tangente an

Berührpunkt
f ( x ) = g ( x )
f´( x ) = g´(x )

x^3 + 1 = x^2 + x
x^3 - x^2 - x = -1
x = -1
x = 1

3*x^2 = 2x + 1
3*x^2 -2x = -1
x = 1

f ( 1 ) = 2
Berührpunkt ( 1 | 2 )
f ´( 1 ) = 3 * 1^2 =  3 = m der Tangente
t ( x ) = m * x + b
f ( 1) = t (1 ) = 2 = 3 * 1 + b
2 = 3 + b
b = -1

t ( x ) = 3 * x - 1

Comments

Hallo Georg,

für meine Begriffe ist dein Vorgehen etwas ungeschickt. Du suchst als erstes nach gemeinsamen Punkten. Das führt auf eine Gleichung dritten Grades, die bei komplizierteren Zahlen nicht so aus dem Handgelenk zu lösen ist.

Ich empfehle den Schüler immer, ZUERST nach Stellen mit gleichen Anstiegen zu suchen. Die Gleichung ist in diesem Fall nur quadratisch und somit standardmäßig lösbar. Du hast hier eine der beiden möglichen Stellen unterschlagen (bei deinem Vorgehen zu Recht, weil es keine der beiden von dir vorher berechneten Schnittstellen war).

Der Rechenaufwand ist bei der alternativen Reihenfolge in der Regel geringer.

(Abgesehen davon, dass du wohl - genau wie ich - übersehen hast, dass der Berührungspunkt gar nicht zu berechnen war, sondern schon vorgegeben wurde.)

Answer 4

Wie stelle ich nun die Tangentengleichung auf?

Das ist nach deinen Vorarbeiten nicht mehr schwer:

Die Steigung der gemeinsamen Tangente beträgt

f'(1)=g'(1)=3

und mit der Punkt-Steigungsform ergibt sich sofort die Tangentengleichung

y = 3·(x-1)+2.

Das war schon alles! :-)