Nun,
( x + y i ) 2 = − 2 + 2 i
<=> x 2 + 2 x y i - y 2 = - 2 + 2 i
Koeffizientenvergleich:
<=> x 2 - y 2 = - 2 und 2 x y = 2
<=> x 2 - y 2 = - 2 und y = 1 / x
<=> x 2 - ( 1 / x ) 2 = - 2 und y = 1 / x
<=> x 4 - 1 = - 2 x 2 und y = 1 / x
<=> x 4 + 2 x 2 = 1 und y = 1 / x
Quadratische Ergänzung auf beiden Seiten addieren:
<=> x 4 + 2 x 2 + 1 = 2 und y = 1 / x
<=> ( x 2 + 1 ) 2 = 2 und y = 1 / x
<=> x 2 + 1 = ± √ 2 und y = 1 / x
<=> x 2 = ± √ ( 2 ) - 1 und y = 1 / x
Die negative Wurzel entfällt, da x aus R sein soll und somit x 2 nicht negativ sein kann.
<=> x 2 = √ ( 2 ) - 1 und y = 1 / x
<=> x = ± √ ( √ ( 2 ) - 1 ) und y = 1 / x
<=> x = ± √ ( √ ( 2 ) - 1 ) und y = ± 1 / √ ( √ ( 2 ) - 1 )
<=> x = ± 0,64359... und y = ± 1,55377...
=> |L = { ( 0,64359... | 1,55377... ) , ( - 0,64359... | - 1,55377... ) }
Die zweite Aufgabe setze ich mal in TeX, das sieht dann doch etwas übersichtlicher aus:
$${ \left[ r,\varphi \right] }^{ 3 }=-2+2i$$
$$<=>{ (r*{ e }^{ i\varphi }) }^{ 3 }=-2+2i$$
$$<=>{ r }^{ 3 }*{ e }^{ i3\varphi }=-2+2i$$
$$<=>{ r }^{ 3 }*cos(3\varphi )+{ r }^{ 3 }*sin(3\varphi )i=-2+2i$$
Koeffizientenvergleich:
$${ r }^{ 3 }*cos(3\varphi )=-2\wedge { r }^{ 3 }*sin(3\varphi )=2$$
$$<=>{ r }^{ 3 }*cos(3\varphi )=-2\wedge { r }^{ 3 }=\frac { 2 }{ sin(3\varphi ) }$$
$$<=>\frac { 2*cos(3\varphi ) }{ sin(3\varphi ) } =-2\wedge { r }^{ 3 }=\frac { 2 }{ sin(3\varphi ) }$$
$$<=>\frac { cos(3\varphi ) }{ sin(3\varphi ) } =-1\wedge { r }^{ 3 }=\frac { 2 }{ sin(3\varphi ) }$$
$$<=>\frac { 1 }{ tan(3\varphi ) } =-1\wedge { r }^{ 3 }=\frac { 2 }{ sin(3\varphi ) }$$
$$<=>tan(3\varphi )=-1\wedge { r }^{ 3 }=\frac { 2 }{ sin(3\varphi ) }$$
$$<=>3\varphi =\frac { (4n-1)*\pi }{ 4 } (n\in Z )\wedge { r }^{ 3 }=\frac { 2 }{ sin(3\varphi ) }$$
$$<=>\varphi =\frac { (4n-1)*\pi }{ 12 } (n\in Z )\wedge { r }^{ 3 }=\frac { 2 }{ sin(3\varphi ) }$$
Laut Aufgabenstellung soll gelten:\(0\le \varphi <2\pi\)
daraus folgt für n: \(1\le n\le 6\)
also:
$$\varphi =\frac { (4n-1)*\pi }{ 12 } (1\le n\le 6)\wedge { r }=\sqrt [ 3 ]{ \frac { 2 }{ sin(3\varphi ) } }$$
Setzt man hier n=1...6 ein, so findet man für n = 2,4,6 jeweils einen negativen Radius ( nämlich \(-\sqrt { 2 }\) ). Laut Aufgabenstellung sollen aber nur Lösungen mit positiven Radien angegeben werden. Diese findet man mit n = 1,3,5
Als Lösungsmenge ergibt sich somit:
$$L=\left\{ (r,\varphi )|r=\sqrt { 2 } \wedge \varphi \in \left\{ \frac { 3*\pi }{ 12 } ,\frac { 11*\pi }{ 12 } ,\frac { 19*\pi }{ 12 } \right\} \right\} =\left\{ \left( { \sqrt { 2 } }|{ \frac { 3*\pi }{ 12 } } \right) ,\left( { \sqrt { 2 } }|{ \frac { 11*\pi }{ 12 } } \right) ,\left( { \sqrt { 2 } }|{ \frac { 19*\pi }{ 12 } } \right) \right\}$$
