Gleichungssystem lösen: 2^{x} + 4^{y} = 3/2 und y - x = 1

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie alle Lösungen des Gleichungssystems:

$$\begin{array}{l}{2^{x}+4^{y}=\frac{3}{2}} \\ {y-x=1}\end{array}$$

Answer 1

2^x + 4^y = 3/2   und  y = 1+x

==>  2^x + 2^(2y) = 3/2

==>  2^x + 2^(2+2x) = 3/2

==>  2^x + 2^2  *  2^(2x)  ) = 3/2

==>  2^x + 2^2  *  2^(2x)  ) = 3/2

Substitution  z=2^x  und also z^2 = 2^(2x) gibt

 z + 4*z^2 = 3/2

4z^2  + z -3/2 = 0    | :4

z^2 + (1/4) z   - 3/8 = 0

mit pq-Formel  z=-3/4  oder z=1/2

also  2^x = -3/4  oder 2^x = 1/2

Das erste hat keine Lösung für x und das zweite liefert x=-1.

Answer 2

y=x+1 in (I) einsetzen:

2^x + (2²)^(x+1) = 1,5

2^x + (2^2x)*4 -3/2=0

2^2x + 1/4 2^x -3/8 =0

(2^x+3/4)(2^x -1/2)=0

erste Klammer>0, keine Lösung

2. Klammer: x= -1