Question

Beweisen Sie, dass die folgende Aussage eine Tautologie ist:

((A∧B)⇒A)⇔(A⇒(A∨B)).

Answer 1

Vermutlich hattet ihr ja schon

die Tautologie

P⇒Q   ⇔   ¬P ∨  Q

Wenn du das anwendest mit

P=A∧B     und Q = A hast du

((A∧B)⇒A)

⇔  ¬(A∧B)  ∨  A     (Dann De Morgan )

⇔  ( ¬A   ∨   ¬B)  ∨  A

Assoziativität und Kommutativität von  ∨ gibt

⇔  ( ¬A   ∨   A  )   ∨   ¬B

Komplementgesetz liefert

⇔    1   ∨   ¬B

⇔    1   .

Entsprechend die andere Seite :

(A⇒(A∨B))

⇔   ¬A   ∨  (  A    ∨  B )

⇔  ( ¬A   ∨    A )   ∨  B

⇔    1   ∨   ¬B

⇔    1   .

Also insgesamt :

Beide Seiten haben immer den Wert 1, also

ist die Äquivalenz immer wahr.

((A∧B)⇒A)   ⇔    1   ⇔   (A⇒(A∨B)).