Ich muss von folgendem den Grenzwert berechnen
Aufgabe:
lim (nn+1( \frac{n}{n+1} (n+1n )n
Ist das nicht auch die eulersche Zahl wenn ich in dieser Formel n als Potenz habe?
Der Grenzwert ist 1e\frac{1}{e}e1.
nn+1=(n+1n)−1=(1+1n)−1\dfrac{n}{n+1}=\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^{-1}=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{-1}n+1n=(nn+1)−1=(1+n1)−1
Damit wird
limn→∞(nn+1)n=limn→∞(1+1n)−n=1limn→∞(1+1n)n=1e\lim\limits_{n\to\infty}\left(\dfrac{n}{n+1}\right)^n=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{-n}=\dfrac{1}{\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}}=\dfrac{1}{e}n→∞lim(n+1n)n=n→∞lim(1+n1)−n=n→∞lim(1+n1)n1=e1
lim (n/(n+1))n
=limn→∞ \lim\limits_{n\to\infty} n→∞lim( nn+1)n \frac{n}{n+1})^{n} n+1n)n
=limn→∞ \lim\limits_{n\to\infty} n→∞lim( n+1n)−n \frac{n+1}{n})^{-n} nn+1)−n=limn→∞ \lim\limits_{n\to\infty} n→∞lim( 1+1n)−n 1+\frac{1}{n})^{-n} 1+n1)−n=[limn→∞ \lim\limits_{n\to\infty} n→∞lim( 1+1n)n 1+\frac{1}{n})^{n} 1+n1)n]-1=1/e
es geht gegen Null weil egal was n ist immer Nenner ist größe als die Zähler das heißt immer weniger als 1 zum beispiel wenn n= 1 dann ist es = 1/2 hoch 1 das heißt die limis ist 0
Das ist leider völlig falsch.
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