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Aufgabe

Gegeben seien die sechs Abbildungen hi : R\{0,1}→R

h1(x) = x

h2(x) = 1−x

h3(x) =1:x

h4(x) =x:(x−1)

h5(x) =1:(1−x)

h6(x) = 1−(1:x)

Zeigen Sie, dass G := {h1,h2,h3,h4,h5,h6} bezüglich der Verknüpfung von Abbildungen ◦ eine Gruppe ist.
Problem/Ansatz:

An sich weiß ich wie man Gruppen definiert, aber bei der Aufgabe fehlt mir total der Ansatz. Wäre toll, wenn mir jemand sagen könnte, wie ich das angehen muss.

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1 Antwort

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Verknüpfung o von Abbildungen ist ja immer assoziativ. Das brauchst du wohl

nur zu zitieren. Prüfen muss man also:

Abgeschlossenheit

Existenz neutrales Element ( Das ist hier h1 .)

Zu jedem ein Inverses.

Ist wohl am einfachsten alles auf

einmal zu überprüfen durch Erstellen einer Gruppentafel:

   o     h1      h2     h3     h4    h5    h6  
h1      h1      h2     h3     h4    h5    h6
h2      h2      h1     h6     h5    h4    h3

etc.

Avatar von 287 k 🚀

Erstmal vielen Dank! Meine Frage wäre jetzt noch, wie ich beweise, dass h1 das neutrale Element ist. Muss ich das für h2, h3, ... immer einzeln nachweisen?

wie ich beweise, dass h1 das neutrale Element ist.

Indem du für jedes f ∈ G zeigst:

        Für alle x ∈ R\{0,1} ist h1(f(x)) = f(x).

Du kann sagen:   In der Spalte und in der Zeile von h1 in

der Gruppentafel finden sich die gleichen Einträge wie

in der Eingagsspalte bzw. Zeile .  Also gilt für alle h∈G

h1 o h = hoh1 = h

==>  h1 ist das neutr. El. von G.

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