Urnenmodell Qualitätskontrolle

Question

Aufgabe:

In einer Schachtel sind 38 Streichhölzer, davon wurden 29 etwas zu kurz produziert.

a)(1 Punkt) Zur Qualitätskontrolle werden zufällig 4 Streichhölzer auf einmal gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass hierbei 2 zu kurze Streichhölzer gefunden werden?

b)(1 Punkt) Zur Qualitätskontrolle wird zufällig ein Streichholz gezogen, untersucht und wieder zurückgelegt. Anschließend wird das nächste Streichholz zufällig gezogen, untersucht und zurückgelegt. Insgesamt werden so 4 Streichhölzer überprüft. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass hierbei 3 zu kurze Streichhölzer gefunden werden?

Ich hoffe sehr, dass ihr mir helfen könnt.

Answer 1

Aloha :)

Gegeben: 38 Streichhölzer, 29 kurze, 9 lange.

zu a) Von den 38 Streichhölzern werden 4 gleichzeitig gezogen. Dafür gibt es $\binom{38}{4}$ Möglichkeiten. Gefragt ist nach der Wahrscheinlichkeit, (mindestens) 2 zu kurze Streichölzer zu ziehen. Von den 29 zu kurzen Streichhölzern müssen also 2, 3 oder 4 gezogen werden und gleichzeitig müssen von den 9 langen 2, 1 oder 0 gezogen werden. Formal bedeutet das:

$$P(\ge2)=\frac{\binom{29}{2}\binom{9}{2}}{\binom{38}{4}}+\frac{\binom{29}{3}\binom{9}{1}}{\binom{38}{4}}+\frac{\binom{29}{4}\binom{9}{0}}{\binom{38}{4}}=\frac{406\cdot36}{\binom{38}{4}}+\frac{3654\cdot9}{\binom{38}{4}}+\frac{23\,751\cdot1}{\binom{38}{4}}$$$$\phantom{P(\ge2)}=\frac{71\,253}{73\,815}=96,53\%$$

zu b) Jetzt werden die Streichhölzer einzeln gezogen, geprüft und wieder zurückgelegt. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zu kurzes Streichholz gezogen wird ist (wegen des Zurücklegens) konstant: $p=\frac{29}{38}$. Gesucht ist die Wahrscheinlichkiet, bei 4 Wiederholungen 3 (oder 4) zu kurze Streichhölzer zu ziehen:

$$P(=3)=\binom{4}{3}p^3(1-p)^1=4\cdot\left(\frac{29}{38}\right)^3\cdot\left(\frac{9}{38}\right)^1=42,1078\%$$$$P(=4)=\binom{4}{4}p^4(1-p)^0=1\cdot\left(\frac{29}{38}\right)^4\cdot\left(\frac{9}{38}\right)^0=33,9201\%$$$$P(\ge3)=P(=3)+P(=4)=76,03\%$$

Comments

2 heißt doch genau 2, oder?

Analog bei b)

Du hast "mindestens2" berechnet.

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Wenn 3 zu kurze Streichhölzer gezogen werden, werden insbesondere auch 2 zu kurze Streichhölzer gezogen. Wenn bei solchen Aufgaben nicht "genau 2" dabei steht, ist immer "mindestens 2" gemeint.

Wenn du Millionär bist, hast du ja auch nicht genau 1 Millionen, sondern mindestens 1 Millionen :)

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Also bei Matheaufgaben kenne ich das so nicht, sondern umgekehrt.

"mindestens" steht dabei, wenn es gemeint ist.

Hier scheint es unterschiedliche Auffassungen zu geben.

Deine Erklärung ist einleuchtend, aber zwingend??

Answer 2

zu a)

du kannst dir das anhand eines Baumdiagramms veranschaulichen (ziehen ohne Zurücklegen):

... und dann die Wahrscheinlichkeiten der Pfade, 4., 6., 7., 10., 11. und 13. addieren.

Gruß, Silvia

Answer 3

a)hypergeometrische Verteilung:

(29über2)(9über2)/(39über4)

b) (4über3)*(29/38)³*(9/38)¹