51% der Menschen in Berlin sind weiblich.

Question

Aufgabe:

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter 100 zufällig ausgewählten Lebenden in Berlin höchstens 45 von denen weiblich sind.

Problem/Ansatz:

w=51% m=49% in Berlin

Answer 1

Binomialverteilung

P(X <= 45) = ∑ (x = 0 bis 45) ((100 über x)·0.51^x·0.49^(100 - x)) = 0.1356

Answer 2

P(X<=45) = ∑(k=0 bis45) 0.51^k*0,49^(100-k) = 0,135608792583

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/normalverteilung1.htm

Answer 3

Aloha :)

Der Erwartungswert für weiblich ist: $\overline x=n\cdot p=100\cdot\frac{51}{100}=51$.

Die Standardabweichung ist: $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot(1-p)}=\sqrt{100\cdot\frac{51}{100}\cdot\frac{49}{100}}=\sqrt{24,99}$

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit lässt sich nun mit Hilfe der Standardnormalverteilung $\Theta$ bestimmen:$$P(X<45)=\Theta\left(\frac{45+0,5-\overline x}{\sigma}\right)=\Theta(-1,10022)=13,56\%$$

Comments

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit lässt sich nun mit Hilfe der Standardnormalverteilung Θ bestimmen:

Nein, Das ist ein Notnagel, um die gesuchte Wahrscheinlichkeit anzunähern.

(Dass die Näherung recht gut passt, ist nicht dein Verdienst.)

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Bei der exakten Lösung muss man 46 Binomialkoeffizienten ausrechnen, Einzelwahrscheinlichkeiten potenzieren, multiplizieren und am Ende noch alles addieren. Genau um solche Mammut-Rechnungen zu vermeiden, kann man die Binomialverteilung duruch die Normalverteilung annähern. Eine wichtige Bedingung dafür ist, dass die Varianz $\ge 9$ sein sollte. (Hier ist sie 24,99).

Falls du dich näher darüber informieren möchtest:

https://de.wikipedia.org/wiki/Normal-Approximation

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Zu deiner Information. Vorletzte Woche wurde ein Gerät namen "Taschenrechner" erfunden. Damit berechnet man die Summe von vielen Werten mit einer einzigen Zeile:

Σ(100 nCr X *0,51^X*0,49^(100-X),X,0,46)

(Immerhin hast du dich nach der Kritik genötigt gesehen, die erforderliche Bedingung für die praktische Sinnhaftigkeit deines Näherungsverfahrens nachzuliefern.)