Tangentengleich an Ellipse mit dem Richtungsvektor (1|3) und ell: 3x2+8y2=200

Question

Aufgabe:

ich habe ein Ellipsenproblem..- ell: 3x²+8y²=200, g=(1|3)

Problem/Ansatz:

Man soll eine Tangentengleichung an die Ellipse aufstellen ,nur komme ich nicht weiter...Die Steigung des Richtungsvektors ist k=3/1, das weiß ich, aber wie verfahre ich weiter?

Vielen Dank im Voraus...

Answer 1

Hallo

1. Weg: Steigung der Tangente  m=3 also y=3x+b mit der Ellipse schneiden, darf nur einen Schnittpunkt geben.

2. Du kennst die Ellipsentangente im Punkt (xt,yt)

3x*xt+8y*yt=200 daraus die Steigung  und die =3 ergibt xt.

Gruß lul

Answer 2

Tangente:

        t(x) = mx + b

Die Steigung des Richtungsvektors ist k=3/1

(1)        y = 3x + b

Stelle die Ellipsengleichung nach y um. Du bekommst dadurch zwei Gleichungen (2) und (3).

Bestimme b so, dass das Gleichungssystem (1), (2) nur eine einzige Lösung für x und y hat.

Bestimme b so, dass das Gleichungssystem (1), (3) nur eine einzige Lösung für x und y hat.

Answer 3

Richtungsvektor:$\begin{pmatrix} 1\\3 \end{pmatrix}$ ergibt $V(1|3)$ Ursprungsstrahl durch V:

$y=3x$ schneidet die Ellipse e: $3x^2+8y^2=200$  in

$3x^2+8 \cdot 9x^2=200$

$75x^2=200$

$x=2 \sqrt{\frac{2}{3}}$    $y=6\sqrt{\frac{2}{3}}$

Steigung der Tangente:

$e(x,y)=3x^2+8y^2-200$

$e_x(x,y)=6x$

$e_y(x,y)=16y$

$e'(x)=-\frac{e_x(x,y)}{e_y(x,y)}=-\frac{3x}{8y}$

$e'(2 \sqrt{\frac{2}{3}})=-\frac{6\sqrt{\frac{2}{3}}}{8 \cdot 6\sqrt{\frac{2}{3}}}=-\frac{1}{8}$

Tangentengleichung:

$\frac{y-6\sqrt{\frac{2}{3}}}{x-2 \sqrt{\frac{2}{3}}}=-\frac{1}{8}$

$y-6\sqrt{\frac{2}{3}}=-\frac{1}{8}x+\frac{1}{4}\sqrt{\frac{2}{3}}$

$y=-\frac{1}{8}x+\frac{25}{4}\sqrt{\frac{2}{3}}$

Comments

Deine witzige Tangente hat aber nicht den Richtungsvektor (1;3) sondern den Richtungsvektor (8 ; -1).

Zum Glück beantwortest du meist alte Fragen, die sowieso keinen mehr interessieren.

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Dann wäre wohl folgende Zeichnung die richtige Lösung. So lernt man immerhin etwas Neues dazu!

Jetzt ist mir auch die Vorgehensweise bei dieser Art von Aufgaben klar.

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Verbesserung:

Durch den Richtungsvektor$\begin{pmatrix} 1\\3 \end{pmatrix}$  beträgt die Steigung der Tangente $m=\red{3}$

$e(x,y)=3x^2+8y^2-200$

$e_x(x,y)=6x$

$e_y(x,y)=16y$

$e'(x)=-\frac{e_x(x,y)}{e_y(x,y)}=-\frac{3x}{8y}$

$\red{3}=-\frac{3x}{8y}$

Die Gerade $y=-\frac{1}{8}x$ schneidet  $3x^2+8y^2=200$ in den beiden Beührpunkten der Tangenten.

$3x^2+8\cdot \frac{1}{64}x^2=200$

$x_1=-8$      $y_1=1$

$x_2=8$      $y_2=-1$

Tangentengleichungen:

t_1:$y=3x+25$

t_2:$y=3x-25$