Taylorreihe Grenzwert bestimmen

Question

Berechnen Sie mithilfe der Taylorreihe den Grenzwert.

lim (x->∞) ((x^6+x^5)^(1/6))-((x^6-x^5)^(1/6)).

Hinweis: x^n + x^(n-1) = x^n(1+(1/x))

Laut Wolfram Alpha konvergiert diese Funktion gegen 1/3. Aber meine Lösung entspricht diesem Wert nicht.

Wenn ich die Funktion ableite und x gegen unendlich schicke kommt immer null raus, hab mit dem Ableitungerechner bis zur 10. Ableitung geprüft. Das kann doch nicht sein, was mache ich falsch?

Comments

Hallo

 warum "schickst" du x gegen oo bei der 1. Ableitung?

 hast du denn die Taxlorreihe mit dem Tip. (n=6)

Gruß lul

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Ich weiß halt nicht wie man das macht, da wir sonst immer den Entwicklungspunkt x=0 hatten.

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hallo

z=1/x gegen 0 Taylor für z=0 und (1+z)^(1/6)

Gruß lul

Answer 1

mit Taylor:

= \( \lim\limits_{x\to\infty} \)( x (1+\( \frac{1}{x} ) ^{\frac{1}{6}} \)  - x (1-\( \frac{1}{x} ) ^{\frac{1}{6}} \) )        x6 ausklammern

= \( \lim\limits_{x\to\infty} \) x [ (1+\( \frac{1}{x} ) ^{\frac{1}{6}} \)  - (1-\( \frac{1}{x} ) ^{\frac{1}{6}} \) ]

= \( \lim\limits_{x\to\infty} \) x [ (1+\( \frac{1}{6x} +o( \frac{1}{x^{2}}) ) \)  - (1-\( \frac{1}{6x} +o( \frac{1}{x^{2}})) \) ]

= \( \lim\limits_{x\to\infty} \) x [ (\( \frac{1}{6x} + \frac{1}{6x} +o( \frac{1}{x^{2}})) \) ]    x kürzen

= \( \lim\limits_{x\to\infty} \) [ (\( \frac{1}{6} + \frac{1}{6} +o( \frac{1}{x^{2}})) \) ]

= \( \frac{2 }{6 } \)  = \( \frac{1 }{3 } \) 

Erklärung:

f(h)=(1+h)^1/6 = f(1) + hf'(1) +o(h²)

f'(h) = (1+h)^-5/6*1/6, also f(0)=1, f'(0)=1/6

also: (1+h)^1/6 = 1 + h/6 +o(h²), Konvergenzbereich -1≤x≤1

jetzt schreibe für h=1/x, dann stimmts für große Zahlen:

(1+x)^1/6 = 1 + 1/(6x) +o(1/x²)

direkt:

= \( \lim\limits_{x\to\infty} \)( x (1+\( \frac{1}{x} ) ^{\frac{1}{6}} \)  - x (1-\( \frac{1}{x} ) ^{\frac{1}{6}} \) )        x⁶ ausklammern

= \( \lim\limits_{x\to\infty} \)(x \( a^{\frac{1}{6}} \)  - x \( b^{\frac{1}{6}} \) )          als Abkürzung

=\( \lim\limits_{x\to\infty} \) x ( \( a^{\frac{1}{6}} \)  - \( b^{\frac{1}{6}} \))          jetzt 3. binom.

=\( \lim\limits_{x\to\infty} \) x \( \frac{( a^{\frac{1}{6}}   -  b^{\frac{1}{6}} )( a^{\frac{1}{6}}  +  b^{\frac{1}{6}} ) }{( a^{\frac{1}{6}}  +  b^{\frac{1}{6}} ) } \)

=\( \lim\limits_{x\to\infty} \) x \( \frac{( a^{\frac{2}{6}}  -  b^{\frac{2}{6}} ) }{( a^{\frac{1}{6}}  +  b^{\frac{1}{6}} ) } \)       jetzt (x-y)(x²+xy+y²)=x³-y³ anwenden

=\( \lim\limits_{x\to\infty} \) x \( \frac{(a^{\frac{1}{3}}  -  b^{\frac{1}{3}}  )( a^{\frac{2}{3}}  +a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} +b^{\frac{2}{3}} ) }{( a^{\frac{1}{6}}  +  b^{\frac{1}{6}} )( a^{\frac{2}{3}}  +a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} +b^{\frac{2}{3}} ) } \) 

=\( \lim\limits_{x\to\infty} \) x \( \frac{(a-b ) }{( a^{\frac{1}{6}}  +  b^{\frac{1}{6}} )( a^{\frac{2}{3}}  +a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} +b^{\frac{2}{3}} ) } \) 

=\( \lim\limits_{x\to\infty} \) x \( \frac{((1+ \frac{1}{x} )-(1- \frac{1}{x} ) ) }{( a^{\frac{1}{6}}  +  b^{\frac{1}{6}} )( a^{\frac{2}{3}}  +a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} +b^{\frac{2}{3}} ) } \)     Zähler zusammenfassen, x kürzen

=\( \lim\limits_{x\to\infty} \)  \( \frac{2 }{( a^{\frac{1}{6}}  +  b^{\frac{1}{6}} )( a^{\frac{2}{3}}  +a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} +b^{\frac{2}{3}} ) } \) 

=\( \frac{2 }{( 1  +  1)( 1  +1*1+1 ) } \)  = \( \frac{2 }{6 } \)  = \( \frac{1 }{3 } \) 

Comments

einmal mit Taylor, einmal ohne!

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Wie kommst du in deinen Schritt (bei Taylor) auf den Grenzwert von jeweils 1/6. Die 1 kann ich noch nachvollziehen, aber alle Ableitungen gehen bei mir für x gegen unendlich gegen null :/

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siehe hinzugefügte Erklärung in Lösung!

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Welche Zeile ist unklar?

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Vielen Dank für Ihre Mühe. Ich habe es verstanden! ;)