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Guten Abend liebe Helfer,

ich bin am verzweifeln. Das Integral sieht einfach aus, aber ich kriege es einfach nicht geknackt:

$$\int_0^{\pi/2}\frac{\sqrt{\tan(x)}}{\sqrt{\tan(x)}+\sqrt{\cot(x)}}dx$$

Wäre toll, wenn mir jemand dabei helfen könnte...

Danke schon mal im voraus.

vor von

Kontrolliere nochmal, ob Abschreibfehler, weil das eine Riesenrechnerei wäre.

Im Nenner alles unter eine Wurzel?

Dann käme 1 heraus. Bestimmt falsch abgeschrieben!

Das stimmt leider so... deswegeb bin ich ja am verzweifeln :(

Dann ist es ein Druckfehler auf dem Aufgabenblatt! Frag nach, würde mich interessieren!

Würde drauf wetten!

Hallo Wolfgang,

WolframAlpha sagt, dass pi/4 rauskommt. Die Lösung von Tschakabumba kommt zu demselben Ergebnis und ist sehr gut nachvollziehbar.

Das sehe ich auch so.

Bei dem Online-Rechner muss wohl bei meiner Eingabe was falsch gelaufen sein:

https://www.integralrechner.de/

Er berechnet als unbestimmtes Integral  F(x) = - (ln(|sin(x)+cos(x)|)-x)/2 + c

Als bestimmtes Integral  (π-2ln(-1))/4 und die Annäherung ≈ π/4 - π/2 i

Ich ziehe die Antwort zurück.

@Wolfgang, ich habs selbst nochmal eingegeben. Das wird als Lösung verkauft: Vorne steht auch π/4

lös.jpg

unten die Aufg:

aufg.jpg

Habe ich inzwischen auch gemerkt und obigen Kommentar geändert.

3 Antworten

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Beste Antwort

Aloha :)

Gesucht ist das folgende Integral:$$I=\int\limits_0^{\pi/2}\frac{\sqrt{\tan(x)}}{\sqrt{\tan(x)}+\sqrt{\cot(x)}}\,dx$$Substituiere: \(x:=\frac{\pi}{2}-y\;\;;\;\;dx=-dy\;\;;\;\;y=\frac{\pi}{2}-x\;\;;\;\;y(0)=\frac{\pi}{2}\;\;;\;\;y\left(\frac{\pi}{2}\right)=0\)
$$I=\int\limits_{\pi/2}^0\frac{\sqrt{\tan\left(\frac{\pi}{2}-y\right)}}{\sqrt{\tan\left(\frac{\pi}{2}-y\right)}+\sqrt{\cot\left(\frac{\pi}{2}-y\right)}}\,(-dy)$$Das Minuszeichen von \((-dy)\) kompensieren wir durch Vertauschung von oberer und unterer Integrationsgrenze. Bei den Winkelfunktionen nutzen wir das aus, wo die \(\mbox{co}\)-Funktionen ihren Namen her haben, dass sie nämlich im rechtwinkligen Dreieck zu den komplementären Winkeln übergehen:$$\cos\left(x\right)=\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)$$$$\sin\left(x\right)=\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)$$$$\tan\left(x\right)=\cot\left(\frac{\pi}{2}-x\right)$$$$\cot\left(x\right)=\tan\left(\frac{\pi}{2}-x\right)$$Nach diesen Umformungen lautet unser substituiertes Integral:$$I=\int\limits_0^{\pi/2}\frac{\sqrt{\cot\left(y\right)}}{\sqrt{\cot\left(y\right)}+\sqrt{\tan\left(y\right)}}\,dy=\int\limits_0^{\pi/2}\frac{\sqrt{\cot\left(x\right)}}{\sqrt{\cot\left(x\right)}+\sqrt{\tan\left(x\right)}}\,dx$$Beachte, dass hinter dem zweiten Gleichheitszeichen der Variablenname \(y\) durch \(x\) ersetzt wurde, was den Wert des Integrals nicht ändert. Wir haben nun 2 Integrale mit demselben Wert \(I\). Addition der beiden liefert:
$$2I=\int\limits_0^{\pi/2}\frac{\sqrt{\tan(x)}}{\sqrt{\tan(x)}+\sqrt{\cot(x)}}\,dx+\int\limits_0^{\pi/2}\frac{\sqrt{\cot\left(x\right)}}{\sqrt{\cot\left(x\right)}+\sqrt{\tan\left(x\right)}}\,dx$$$$\phantom{2I}=\int\limits_0^{\pi/2}\left(\frac{\sqrt{\tan(x)}}{\sqrt{\tan(x)}+\sqrt{\cot(x)}}+\frac{\sqrt{\cot\left(x\right)}}{\sqrt{\tan\left(x\right)}+\sqrt{\cot\left(x\right)}}\right)\,dx$$$$\phantom{2I}=\int\limits_0^{\pi/2}\frac{\sqrt{\tan(x)}+\sqrt{\cot(x)}}{\sqrt{\tan(x)}+\sqrt{\cot(x)}}\,dx=\int\limits_0^{\pi/2}1\,dx=\frac{\pi}{2}$$Damit sind wir fertig:$$I=\int\limits_0^{\pi/2}\frac{\sqrt{\tan(x)}}{\sqrt{\tan(x)}+\sqrt{\cot(x)}}\,dx=\frac{\pi}{4}$$

vor von 18 k

Boah, du glaubst ja gar nicht, wie lange ich an dieser Aufgabe gerätselt habe. Aber offenbar habe ich zu wenig nachgedacht und zu viel gerechnet.

Wirklich eine galaktische Lösung...

Vielen vielen Dank dafür!!!

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Die Aufgabe geht doch:

Die Integralgrenzen sind keine Polstellen, sondern hebbare Lücken, also darf man drüber weg integrieren, wie es Tschakabumba gemacht hat

Weil der Graph von f(x) = \( \frac{\sqrt{tan(x)}}{\sqrt{tan(x)+cot(x)}} \)

sym. zu (π/4 I 1/2) ist, ist A= 1/2 g*h = 1/2 (2*π/4) * (2*1/2) = π/4 (flächengleiches Dreieck).

Tschakabumba war leider schneller  :)

vor von 1,8 k

Hallo Helmus,

danke für die Mühe, aber du hast den Nenner falsch gelesen. Der Nenner hat keine durchgezogene Wurzel, sondern ist eine Summe von zwei Wurzeln.

Ich hab den Nenner abgeändert, weil mit deinem Nenner ein Riesenterm mit ln(tan(π/2))

auftauchen würde, was nicht geht. Da tan(π/2) nicht existiert und cot(0) nicht existiert, handelt es sich um ein uneigentliches Integral. Deins ohne Abänderung hat keine Lösung. Mit Abänderung s.o.

Wolframalpha sagt aber, dass 0,785398 rauskommt.

0 Daumen

diese Integral kannst Du auch  mittels Weierstraß-  Substitution lösen

(falls behandelt)

Setze:

tan(x)= (2t) /(1-t^2)

cot(x)=(1-t^2)/(2t)

dx=(2 dt)/(1+t^2)

usw.

vor von 93 k 🚀

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