Aufgabe:
Nach der Mittelwerteigenschaft für Volumenintegrale muss es x* geben, so dass das Volumenintegral über f(x) gleich f(x*) mal dem Volumen ist.
Im Beispiel auf S. 10-32 oben muss es also Punkte (x*,y*,z*) geben, so dass sich der Integrand "div w" auf diese Weise vor das Integral ziehen lässt. Für welche Punkte geht dies?
Text erkannt:
Oberprife Sata won Caul an dienem Boispiel:
Fluas \( w=\left(\begin{array}{l}{x} \\ {y} \\ {z}\end{array}\right) \) durch Oberflache von Wurfel \( w=[-1,1] \times[-1,1] \times[-1,1] \)
The Oberfiache besteht aus 6 Teillachen:
$$ \begin{aligned} \partial W_{1} &=\{(x, y, z): x=1, y \in[-1,1], z \in[-1,1]\}, \quad \hat{n}=(1,0,0)^{T} \\ \vdots & \\ \partial W_{0}^{i} &=\{(x, y, z) ; x=-1, y \in[-1,1], z \in[-1,1]\}, \quad \hat{n} \quad=\quad(-1,0,0)^{T} \end{aligned} $$
Die Oberflichenintegrale liefern:
\( \iint_{\Delta W_{1}} w \cdot \hbar d O=\iint_{\Omega W_{2}}\left(\begin{array}{l}{1} \\ {y} \\ {z}\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l}{1} \\ {0} \\ {0}\end{array}\right) d(y, z)=\int \limits_{-1}^{1} \int \limits_{-1}^{1} 1 d y d z=\int \limits_{-1}^{1} 2 d z=4 \)
\( \iint_{\partial \Omega_{t}} w \cdot \widehat{n} d O=\iint_{\Omega w_{t}}\left(\begin{array}{c}{-1} \\ {y} \\ {z}\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c}{-1} \\ {0} \\ {0}\end{array}\right) d(y, z)=\ldots \)
100
\( \iint_{\min } w \cdot \widehat{\pi} d \mathcal{O}=6 \cdot 4=24 \)
$$ \iiint_{W} d i v u d(x, y, z)=\int \limits_{-1}^{1} \int \limits_{-1}^{1} \int \limits_{-1}^{1} 3 d x d y d z=\int \limits_{-1}^{1} \int \limits_{-1}^{1} 6 d y d z=\int \limits_{-1}^{1} 12 d z=24 $$
Berechne Fluss \( w=\left(\begin{array}{c}{0} \\ {0} \\ {1}\end{array}\right) \) durch Oberfliche der Halbkugel \( H \) Offensichtlich ist div w \( = \) o und das Voktorfeld quellenfrei. Das Volumenintegral ist:
$$ \iiint_{H} 0 d(x, y, z)=0 $$
die K resercheibe \( K \) berechmet:
meine Lösungen:
(1,0,0)
(0,0,-1)
Sind meine Lösungen richtig so?
Liebe Grüße
