0 Daumen
224 Aufrufe

Aufgabe:

1) x²=2     Löse die Gleichung geometrisch

2) Begründe, warum die Lösung der Gleichung x²=2  ,, problematisch'' war und eine Zahlenbereiserweiterung erforderlich machte



Problem/Ansatz:

Kann mir jemand das bitte erklären. Ich muss am Montag ein Vortrag darüber halten und verstehe leider nichts. Danke schon mal im voraus.

von

2 Antworten

0 Daumen
 
Beste Antwort

Zeichne ein Quadrat mit der Seitenlänge 1 (blau). Der Flächeninhalt ist 1 Flächeneinheit.

Zeichne eine Diagonale des Quadrats ein und über der Diagonalen ein weiteres Quadrat (schwarz).


Das neue Quadrat ist doppelt so groß wie das erste, also 2 Flächeneinheiten.

Da für den Flächeninhalt gilt A=a², ergibt sich für das größere Quadrat 2=a².

Wir suchen also eine Zahl a, die mit sich selbst multipliziert 2 ergibt.

Dann probieren wir mal aus ohne die Wurzeltaste zu benutzen.

1,4²=1,96  ;  1,5²=2,25

Die gesuchte Zahl muss also zwischen 1,4 und 1,5 liegen.

Nun probieren wir das mit immer mehr Nachkommastellen und finden a ist ungefähr 1,4142.

Jetzt muss noch gezeigt werden, dass die gesuchte Zahl nicht als Bruch geschrieben werden kann.


Beweis durch Widerspruch:

Wir nehmen an, dass \(\sqrt 2\) doch als Bruch geschrieben werden kann und zeigen, dass das zu einem Widerspruch führt. Dann wissen wir, dass es noch mehr Zahlen als die rationalen Zahlen geben muss.

\(\sqrt 2 = \frac{p}{q}\)

Der Bruch soll vollständig gekürzt sein; das ist wichtig. p und q seien natürliche Zahlen.

Wir quadrieren die Gleichung:

\(2 = \frac{p^2}{q^2}\)

\(2q^2=p^2\)    (*)

\(p^2\) ist also eine gerade Zahl und damit auch \(p\).

Wir können daher schreiben: \(p=2r \Rightarrow p^2=4r^2\). Dabei ist auch r eine natürliche Zahl.

Das setzen wir in (*) ein:

\(2q^2=4r^2\)

\(q^2=2r^2\) 

Oh, q ist auch eine gerade Zahl, genau wie p, dabei sollte der Bruch doch schon vollständig gekürzt sein.

Das ist ein Widerspruch. \(\sqrt 2\) ist also keine rationale Zahl, sondern irrational.

Deshalb muss der Zahlenbereich erweitert werden.

von

,, Jetzt muss noch gezeigt werden, dass die gesuchte Zahl nicht als Bruch geschrieben werden kann. '' 

Wie meinen Sie das? Könnten Sie mir das bitte erklären oder zeigen und mit dem Quadrat auch.

@Melvin

Erwartete Antwort von dir:

"Oh, danke, dass du mir schon meinen vollständigen Vortrag aufgeschrieben hast. Dafür gebe ich dir auch einen Pluspunkt." usw.

:-)

Dankeschön das du dir so viel Mühe und Zeit gegeben hast

Hallo Melvin,

wenn Du Deinen Lehrer überraschen möchtest, so kannst Du ihm folgendes vorführen:

Wenn sich \(\sqrt 2\) schon nicht als Bruch darstellen lässt, so vielleicht eine andere Zahl, die ganz dicht bei \(2\) liegt. Nehmen wir mal$$\frac pq = \sqrt{2 + \frac1{q^2}}$$umso größer das \(q\) wird, desto dichter liegt der Term \(2 + \frac 1{q^2}\) bei \(2\) .. ist klar - oder?

Setzt man für \(q=1\), so steht dort \(\sqrt 3\), das bringt uns nicht weiter. Mit \(q=2\) steht da aber $$\sqrt{2+ \frac1{2^2} } =\sqrt{\frac 84 + \frac 14}= \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac 32$$Also habe wir eine erste Lösung - ich nenne sie mal$$p_0 = 3, \quad q_0 = 2$$Aus dieser kann man nun beliebig viele Lösungen generieren - mit folgender Formel:$$p_1 = 3\cdot p_0 + 4 \cdot q_0 = 17 \\ q_1 = 2 \cdot p_0 + 3 \cdot q_0 = 12$$Jetzt rechne mal nach$$\sqrt{2 + \frac 1{12^2}} = \sqrt{\frac{288}{144} + \frac{1}{144}} = \frac{17}{12}$$passt also. Wenn Du die Lösung \(p_1=17, \space q_1=12\) wieder und die nächste Lösung auch und die folgenden in die Formel einsetzt, so erhältst Du$$\frac{17}{12} \to \frac{99}{70} \to\frac{577}{408} \to\frac{3363}{2378} \to \text{u.s.w.}$$Der letzte Term liegt schon ziemlich gut bei \(\sqrt 2\)$$\begin{aligned} \frac{3363}{2378} &\approx 1,4142136249 \\ \sqrt 2 &\approx 1,4142135624\end{aligned}$$aber eben nie genau, da es eine solche rationale Zahl nicht gibt; wie mathe_was_sonst Dir schon gezeigt hat.

Gruß Werner

0 Daumen

Muss du nach x auflösen?

von

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community