Zeichne ein Quadrat mit der Seitenlänge 1 (blau). Der Flächeninhalt ist 1 Flächeneinheit.
Zeichne eine Diagonale des Quadrats ein und über der Diagonalen ein weiteres Quadrat (schwarz).
Das neue Quadrat ist doppelt so groß wie das erste, also 2 Flächeneinheiten.
Da für den Flächeninhalt gilt A=a², ergibt sich für das größere Quadrat 2=a².
Wir suchen also eine Zahl a, die mit sich selbst multipliziert 2 ergibt.
Dann probieren wir mal aus ohne die Wurzeltaste zu benutzen.
1,4²=1,96 ; 1,5²=2,25
Die gesuchte Zahl muss also zwischen 1,4 und 1,5 liegen.
Nun probieren wir das mit immer mehr Nachkommastellen und finden a ist ungefähr 1,4142.
Jetzt muss noch gezeigt werden, dass die gesuchte Zahl nicht als Bruch geschrieben werden kann.
Beweis durch Widerspruch:
Wir nehmen an, dass 2 doch als Bruch geschrieben werden kann und zeigen, dass das zu einem Widerspruch führt. Dann wissen wir, dass es noch mehr Zahlen als die rationalen Zahlen geben muss.
2=qp
Der Bruch soll vollständig gekürzt sein; das ist wichtig. p und q seien natürliche Zahlen.
Wir quadrieren die Gleichung:
2=q2p2
2q2=p2 (*)
p2 ist also eine gerade Zahl und damit auch p.
Wir können daher schreiben: p=2r⇒p2=4r2. Dabei ist auch r eine natürliche Zahl.
Das setzen wir in (*) ein:
2q2=4r2
q2=2r2
Oh, q ist auch eine gerade Zahl, genau wie p, dabei sollte der Bruch doch schon vollständig gekürzt sein.
Das ist ein Widerspruch. 2 ist also keine rationale Zahl, sondern irrational.
Deshalb muss der Zahlenbereich erweitert werden.