Wie kann man Fakultät zeigen? Mit (x+y)^n zeigen, dass 10^n = 9*b + 1.

Question

Seien \( n, k \in \mathbb{N} \) und \( k \leq n . \) Dann definieren wir \( n !=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n \) (Fakultät) und den Binomialkoeffizient

\( \left(\begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right)=\frac{n !}{k !(n-k) !} \)
Benutzen Sie die Tatsache
\( (x+y)^{n}=\sum \limits_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right) x^{k} y^{n-k} \)

um zu zeigen, dass es ein \( b \in \mathbb{N} \) gibt, sodass \( 10^{n}=9 \cdot b+1 \).

Answer 1

kurze Überlegung, da es schon etwas spät ist:

$$(9+1)^n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}9^{k}*1^{n-k}$$

$$n=0$$
$$ (9+1)^0=\sum_{k=0}^0 \binom{0}{k}9^{0}*1^{0}=1$$
$$n \neq0$$
$$ (9+1)^n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}9^{k}*1^{n-k}=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}9^{k}=1+\sum_{k=1}^n \binom{n}{k}9^{k}=1+9*\sum_{k=1}^n \binom{n}{k}9^{k-1}$$
$$b=\sum_{k=1}^n \binom{n}{k}9^{k-1}$$
$$b \in N $$