Zeigen, eine Verknüpfung ist wohldefiniert

Question

Für eine Kongruenz $R$ iber $M$ definieren wir folgende Verknüpfung $\otimes$ auf $M / R:$

$$[s]_{R} \otimes[t]_{R}=[s \odot t]_{R}$$

b) Zeigen Sie: Diese Verknüpfung ist wohldefiniert (d. h. das Ergebnis hängt nicht von den Repräsentanten $s$ und $t$ sondern nur von den Klassen $[s]_{R}$ und $[t]_{R}$ ab).

c) Zeigen Sie: $M / R$ bildet mit obiger Verknüpfung ein Monoid.

Problem/Ansatz:

Wie sollte man in diesem Fall zeigen, dass die Verknüpfung wohldefiniert ist? Man muss ja annehmen dass es für alle Elemente aus der Menge M gilt, aber mir fehlt ein richtiger Ansatz.

Hier nochmal die Erläuterung zu Kongruenzen:

Eine solche Relation $R$ heigt Kongruenz, wenn $R$ eine Äquivalenzrelation (also reflexiv transitiv und symmetrisch) ist und außerdem $s R s^{\prime}$ und $t R t^{\prime}$ für alle $s, s^{\prime}, t, t^{\prime} \in M$ impliziert, dass $(s \odot t) R\left(s^{\prime} \odot t^{\prime}\right)$ gilt.

Comments

Muss da nicht auch noch das Verknüpfungszeichen "⊙" definiert werden?

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Eine Verknüpfung auf einer Menge $A$ ist eine binäre Abbildung $\odot: A \times A \rightarrow A,$ die wir in der Regel in Infix-Notation schreiben: Wir schreiben also a $\odot$ b statt $\odot(a, b) .$ Die Verknüpfung heift assoziativ, wenn $a \odot(b \odot c)=(a \odot b c)=(a \odot b) \odot c$ für alle $a, b, c \in \bar{A}$ gilt. Eine Menge $\bar{S}$ mit einer assoziativen Verkningfung @ heigt Halbgruppe. Eine solche Halbgruppe ist ein Monoid, wenn sie ein neutrales Element besitzt, also ein Element $1_{M} \in \overline{M \text { mit } 1_{M} \odot s=s=s} \odot 1_{M}$ für alle $s \in S$
Sei $M$ mun ein Monoid mit der Verknüpfung \odot und $R \subseteq M \times M$ eine Relation darüber.

Das ist die Beschreibung der Verknüpfung $\odot$