0 Daumen
252 Aufrufe

Aufgabe:

Die nachstehenden rekursiven Folgen sind konvergent. Bestimmen Sie jeweils die Grenzwerte mit Hilfe von Satz \( 6.15 . \)

a) \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) definiert durch \( a_{n+1}=\sqrt{a_{n}}-\frac{1}{4}, \) mit \( 2=a_{1} \)
b) \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) definiert durch \( a_{n+1}=\frac{a_{4}^{2}}{4}+1 \)
c) Es sei \( q>0 \) und \( a_{n}=q^{\frac{1}{n}} \) für \( n \in \mathbb{N} . \) Zeigen Sie, dass für \( q<1 \) die Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) streng monoton steigend und für \( q>1 \) streng monoton fallend ist. Zeigen Sie weiter, dass nach dem Hauptsatz über monotone Folgen \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) damit konvergent für alle \( q \in \mathbb{R} \) ist.

Der Satz 6.15 lautet:

Für konvergente rekursive Folgen ist folgendes Ergebnis zur Bestimmung des konkreten Grenzwerts sehr nützlich.

Satz 6.15: Es sei \( X \subset \mathbb{R} \text { (oder } X \subset \mathbb{C}) \) und \( \left(a_{n}\right) \) eine rekursive Folge definiert durch eine Abbildung \( \varphi: X \rightarrow \mathbb{R}(\text { oder } \varphi: X \rightarrow \mathbb{C}) \)

\[ a_{n}=\left\{\begin{array}{ll}{\varphi\left(a_{n-1}\right),} & {\text { falls } n>1} \\ {\xi,} & {\text { falls } n=1}\end{array}\right. \]
und es gelte \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}=c . \) Falls \( c \in X \) und \( \varphi \) an \( c \) stetig ist, dann gilt folgende Fixpunktgleichung: \( \varphi(c)=c \)


Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht, wie ich obige Aufgaben löse. Vielleicht kann mir jemand die Aufgaben einfach und verständlich erklären. Am besten mit einer kleinen Anleitung, falls jemand so nett ist und sich die Mühe machen möchte. Das würde mir enorm weiterhelfen.

von

2 Antworten

+1 Daumen

Aloha :)

Satz 6.15 sagt im Prinzip, dass du zur Berechnung des Grenzwertes einer rekursiv definierten Folge an Stelle von \(a_n\) und \(a_{n+1}\) den Parameter \(c\) einsetzen und danach die Rekursionsgleichung nach diesem \(c\) auflösen darfst.

$$\left.a_{n+1}=\sqrt{a_n}-\frac{1}{4}\quad\right|\;c \text{ einsetzen}$$$$\left.c=\sqrt c-\frac{1}{4}\quad\right|\;+\frac{1}{4}$$$$\left.c+\frac{1}{4}=\sqrt c\quad\right|\;(\cdots)^2$$$$\left.c^2+\frac{1}{2}c+\frac{1}{16}=c\quad\right|\;-c$$$$\left.c^2-\frac{1}{2}c+\frac{1}{16}=0\quad\right|\;\text{2-te binomische Formel links}$$$$\left.\left(c-\frac{1}{4}\right)^2=0\quad\right.$$$$c=\frac{1}{4}$$

$$\left.a_{n+1}=\frac{a_n^2}{4}+1\quad\right|\;c \text{ einsetzen}$$$$\left.c=\frac{c^2}{4}+1\quad\right|\;\cdot4$$$$\left.4c=c^2+4\quad\right|\;-4c$$$$\left.c^2-4c+4=0\quad\right|\;\text{2-te binomische Formel links}$$$$\left.(c-2)^2=0\quad\right.$$$$c=2$$

von 118 k 🚀
0 Daumen

Also wenn $$\varphi(c)=c$$ gilt, dann gilt doch auch aus $$a_{n+1}=\sqrt{a_{n}}-\frac{1}{4}$$ folgendes:

$$c=\sqrt{c}-\frac{1}{4}$$

Daraus lässt sich doch c mit der Mitternachtsformel berechnen $$c=\frac{1}{4}$$


Bei (b) wäre dann c=2

von 3,2 k

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Ähnliche Fragen

1 Antwort
Gefragt 18 Mai 2017 von Gast
1 Antwort
Gefragt 17 Nov 2015 von Gast
1 Antwort
0 Antworten

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community