Extremstellen von y3(x)=3a2*x-x3 bestimmen

Question

Hallo liebe Mathematiker,

ich soll die Extremstellen der o.g. Funktion bestimmen. Wegen des y³ habe ich die 3-te Wurzel der rechten Seite gezogen. Dann werden die Ableitungen aber sehr kompliziert und ich kriege die nicht hin.

Kann mir vielleicht jemand dabei helfen?

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Iria

Answer 1

Aloha :)

Lu hat ja bereits sehr gut geantwortet. Trotzdem möchte ich noch eine Ergänzung geben...

Ich vermute nämlich stark, dass dir diese Aufgabe im Zusammenhang mit implizit definierten Funktionen gestellt wurde. Du kannst deine Funktionsgleichung für $y^3(x)$ wie folgt umschreiben:$$F(x,y(x)):=x^3-3a^2x+y^3(x)=0$$Damit haben wir eine Funktion $F=F(x,y)$ definiert, die für alle $x$ aus der Definitionsmenge der Funktion $y(x)$ den Wert $0$ hat. Daher ist auch das totale Differential $dF$ von $F$ immer gleich $0$:

$$0=dF=\frac{\partial F}{\partial x}dx+\frac{\partial F}{\partial y}dy=(3x^2-3a^2)dx+3y^2dy$$$$\;\;\Rightarrow\;\; 0=(3x^2-3a^2)+3y^2\,\frac{dy}{dx}$$$$\;\;\Rightarrow\;\; y'(x)=\frac{dy}{dx}=-\frac{3x^2-3a^2}{3y^2}=\frac{a^2-x^2}{y^2}$$Aus der Forderung $y'(x)=0$ erhalten wir 2 Kandidaten für Extremwerte: $x=\pm a$.

Die zweite Ableitung kannst du nun mit der Quotientenregel hinschreiben:

$$y''(x)=\frac{-2xy^2-(a^2-x^2)\,2yy'}{y^4}=-\frac{2x}{y^2}-\frac{2(y')^2}{y}$$$$\;\;\Rightarrow\;\;y''(\pm a)=\mp\frac{2a}{y^2}-\frac{2[y'(\pm a)]^2}{y}=\mp\frac{2a}{y^2}$$

Daher ist $y''(a)<0$ und $y''(-a)>0$. Bei $x=a$ liegt also ein Maximum und bei $x=-a$ liegt ein Minimum vor.

Comments

Ah, ja so klappt es auch mit der zweiten Ableitung. Ganz schön tricky!

Answer 2

An den gleichen Stellen an denen y extrem ist, ist auch y³ extrem.

D.h. du kannst die Ableitung von y³ Null setzen und brauchst die Wurzel erst am Schluss zu bestimmen, wenn du die Extremwerte ausrechnest.

Comments

Ah, verstehe. Und wie ist das,mit der zweiten Ableitung? Ich muss ja noch prüfen, ob es ein Minimum oder Maximum ist.

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Das geht genau gleich.

Kennst du die zweite binomische Formel?

Damit kannst du y³ vermutlich faktorisieren und dann ist eh klar in welchen Bereichen zwischen den Extremstellen die Kurve steigt oder fällt.

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Danke dir... Ich probiere es gerade mal aus.