a|b => ggT(a,b)=a beweisen

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie: Wenn a ein Teiler von b ist, dann ist ggT(a,b)=a.

Problem/Ansatz:

Kann mir eventuell jemand erklären wie ich die oben genannte Aufgabe lösen kann?

!

Answer 1

Aloha :)

\(a\) ist Teiler von \(b\). Das heißt, es gibt eine natürliche Zahl \(n\ge1\) mit \(\frac{b}{a}=n\). Andererseits teilt \(a\) auch sich selbst, denn \(\frac{a}{a}=1\) ergibt auch eine natürliche Zahl (nämlich die \(1\)). Die Zahl \(a\) ist also ein gemeinsamer Teiler von \(a\) und \(b\). Da jedoch \(\frac{a}{a}=1\) ist, gibt es keine größere Zahl als \(a\) selbst, die \(a\) teilt. Also muss \(a\) der größte gemeinsame Teiler von \(a\) und \(b\) sein.