ε- Definition des Grenzwertes

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie mittels der ε- Definition des Grenzwertes, dass die Folge an den Grenzwert a hat.

     an = 5/(1-2n²)    a= 0

 1.    ⌊5/(1-2n²) -0⌋ < ε

 2.    5/(1-2n²)< ε / *1-2n²

 3.    5 < ε *(1-2n²) / : ε

 4.    5/ε  < 1-2n² / -1

 5.    5/ε -1 < -2n² / .(-2)

 6.    -5/2ε +1/2 < n² / √

 7.    √(-5/2ε +1/2) < n

Problem/Ansatz: Bei meinem 7 Schritt -5/2ε wie bekomme ich das Minus weg, denn negative Wurzel in der Lösung kommt es auch ohne Minus raus den Rest habe ich wie in der Lösung.

Answer 1

Aloha :)$$a_n=\frac{5}{1-2n^2}$$Wenn du zeigen möchtest, dass $a=0$ der Grenzwert dieser Folge ist, musst du zeigen, dass $|a_n-0|<\varepsilon$ für fast alle $n\in\mathbb{N}$ gilt. Das heißt, du musst ein $n_0\in\mathbb{N}$ finden, sodass für alle $n\ge n_0$ gilt: $|a_n-0|<\varepsilon$. Dieses $n_0$ kann dabei von $\varepsilon$ abhängen. Nehmen wir also im Folgenden ein beliebiges $\varepsilon>0$ an, dessen Wert für die Rechnung festgehalten wird.

$$\left|a_n-0\right|=\left|\frac{5}{1-2n^2}\right|=\left|\frac{5}{2n^2-1}\right|=\frac{5}{2n^2-1}\stackrel{!}{<}\varepsilon$$Jetzt, wo die Betragszeichen verarbeitet sind, kannst du nach $n$ umstellen:

$$\left.\frac{5}{2n^2-1}<\varepsilon\quad\right|\;\text{Kehrwert}$$$$\left.\frac{2n^2-1}{5}>\frac{1}{\varepsilon}\quad\right|\;\cdot 5$$$$\left.2n^2-1>\frac{5}{\varepsilon}\quad\right|\;\cdot+1$$$$\left.2n^2>\frac{5}{\varepsilon}+1\quad\right|\;:2$$$$\left.n^2>\frac{5}{2\varepsilon}+\frac{1}{2}\quad\right|\;\sqrt{\cdots}$$$$\left.n>\sqrt{\frac{5}{2\varepsilon}+\frac{1}{2}}\quad\right.$$Da die Wurzel eine reelle Zahl ist, exisitiert nach dem Archimedischen Axiom ein $\tilde n\in\mathbb{Z}$ mit$$\tilde n\le\sqrt{\frac{5}{2\varepsilon}+\frac{1}{2}}<\tilde n+1$$Wählen wir $n_0:=\tilde n+1$, gilt:$$\forall_{\varepsilon>0}\;\exists_{n_0\in\mathbb{N}}\;\forall_{n>n_0}\left|\frac{5}{1-2n^2}-0\right|<\varepsilon$$Das heißt, die Folge konvergiert gegen $a=0$.

Answer 2

Hallo

da dein an<0 für alle n>0 musst du schon mit den Beträgen rechnen

|an-0|=5/(2n²-1)

ohne Betrag ist deine Rechnung sinnlos, da ε>0 ist deine erste Ungleichung immer richtig, beweist aber nichts!

deshalb ist deine Rechnung auch falsch! von 2. nach 3. multiplizierst du eine Ungleichung mit etwas negativen, das würde das < umdrehen.

Gruß lul