Verhalten der Funktion an den Stellen, an denen sie nicht definiert ist

Question

Aufgabe:

f(x) = $\frac{x^2}{(x-1)^2}$

Es soll das Verhalten der Funktion an den Stellen untersucht werden, an denen sie nicht definiert ist.

Mein Ergebnis: D(f) = ℝ \ {1}

$\lim\limits_{x\to1}$ f(x) = $\lim\limits_{x\to x > 1}$ $\frac{x^2}{(x-1)^2}$ = $\frac{1}{0}$ = + ∞, da Konstante durch 0 immer gegen ∞ geht, oder?

$\lim\limits_{x\to1}$ f(x) = $\lim\limits_{x\to x < 1}$ $\frac{x^2}{(x-1)^2}$ = $\frac{1}{0}$ = + ∞, auch hier wieder + unendlich, oder?

Ich habe zu der Aufgabe leider keine Lösungen, daher würde ich mich freuen, wenn mich jemand korrigieren könnte.

Comments

1/0 ist nicht definiert. Also macht das Gleichzeichen dort keinen Sinn.

---

Okay, vielen Dank. Und wie würde das Ergebnis aussehen, wenn das ganze nicht gegen 1 sondern gegen + - ∞ geht ?
Falls meine Lösung stimmen sollte, dann habe ich beim positiven Fall - ∞ und beim negativen + ∞

hoffentlich versteht man, was ich damit meine :D

---

nein: 2mal +

(x-1)² ist immer ≥0

$\lim\limits_{x\to±\infty}$ f(x) = +1

---

Vielen Dank! :)

Kannst du mir bitte die Zwischenschritte aufschreiben? Hat du einfach direkt in die Funktion irgendwelche Werte eingesetzt?

---

$\lim\limits_{x\to±\infty}$ $\frac{x^{2}}{(x-1)^{2}}$

= $\lim\limits_{x\to±\infty}$ $\frac{x^{2}}{x^{2}-2x+1}$

= $\lim\limits_{x\to±\infty}$ $\frac{x^{2}}{x^{2}(1-2/x+1/x^{2})}$

= $\lim\limits_{x\to±\infty}$ $\frac{1}{1(1-2/x+1/x^{2})}$

=1  Die Brüche im Nenner gehen gegen 0.

---

Es ist allgemein so, dass eine Konstante durch x gegen 0 geht, richtig?

---

wenn x groß!

---

Reicht das als Erklärung?

Answer 1

$\lim_{x\to x > 1}$

ergibt keinen Sinn

$\frac{1}{0}$

ist nicht erlaubt.

Mache einen sauberen Grenzwert.

Answer 2

Richtig gedacht, aber die Schreibweise taugt nichts:

f(x) -----------→ ∞

       x→1, x>1

So: unter dem langen Pfeil steht die Bedingung

Answer 3

Zunächst den Graph der Funktion

Ich würde so schreiben
lim x -> 1(-)  [ x² / ( x-1)² ] = 1 / 0(+) = + ∞
lim x -> 1(+)  [ x² / ( x-1)² ] = 1 / 0(+) = + ∞

und
lim x -> -∞  [ x² / ( x-1)² ] = x² / ( x² -2x + 1)
lim x -> -∞  [ x² / ( x² -2x + 1) ] = x² / [ x² * ( 1 -2/x + 1/x²) ]
x² kürzen
1 / ( 1 - 2/x + 1/x² )
x -> - ∞
1 / ( 1 - 0 + 0 )
1 / 1

Comments

Es ist allgemein so, dass eine Konstante
durch x gegen 0 geht, richtig?

Mach dir einmal die Reihe
1 / x :
x = 1 => 1 
x = 10 => 1/10 = 0.1
x = 100 => 1/100 = 0.01
x = 1000 => 1/1000 = 0.001
....
lim x -> ∞   1/∞ = 0