Aloha :)
Deine Frage wird klar, wenn wir die Gleichung lösen und uns das Ergebnis ansehen:
x2+px+q=0∣∣∣−qx2+p=−q∣∣∣+(2p)2x2+p+(2p)2=(2p)2−q∣∣∣∣∣links die 1-te binomische Formel anwenden(x+2p)2=(2p)2−q∣∣∣∣∣⋯x+2p=±(2p)2−q∣∣∣∣∣∣−2px=−2p±(2p)2−q
Die Diskrimanten ist der Wert unter der Wurzel: D=(2p)2−q
Damit gehen wir nun die 4 Fälle durch:
a) q>0
In der Diskriminante wird etwas Positvies subtrahiert. Daher kann D<0 werden, muss aber nicht. Hier sind also 2 Lösungen (D>0) oder 1 Lösung (D=0) oder auch keine Lösung (D<0) möglich.
b) q<0
Von der Diskriminante wird etwas Negatives subtrahiert. Daher ist D>0. Es gibt genau 2 Lösungen.
c) q=0
Es gibt zwei mögliche Lösungen: x1=p und x2=0. Wenn auch p=0 ist, gibt es nur genau eine Lösung, nämlich x=0.
d) p=0
Die Lösungen reduzieren sich auf x=±−q. Es gibt also genau 2 Lösungen, wenn q<0 ist. Es gibt genau 1 Lösung, wenn q=0 ist. Es gibt keine Lösung, wenn q>0 ist.