Aufgabe:
Sei z ∈ ℂ. Zeige: Für alle n ∈ ℕ gilt
| (1+z)n -1 | ≤ (1+∣z∣)n -1
Problem/Ansatz:
Ich habe damit angefangen mit dem Binomischen Lehrsatz zu arbeiten, um die Ungleichung zu beweisen.
Dabei habe ich (1+z)n umgeformt in k=0∑∞ (nk) zk ; die rechte Seite der Ungleichung ebenso. Indem man dann die Summe auf beiden Seiten statt bei Null ab der 1 laufen lässt, würde sich das -1 auf beiden Seiten aufheben.
Also habe ich bis jetzt die Ungleichung folgendermaßen umgeformt:
| k=1∑∞ (nk) zk | ≤ k=1∑∞ (nk) |z|k
Nun fehlen mir die Ideen für die nächsten Schritte im Beweis.