Küstenstraße: Weisen Sie nach, dass der Graph die Koordinatenachsen nicht schneidet.

Question

Aufgabe Küstenstraße:

Gegeben ist die Funktion \( f(x)=\frac{2}{x} \cdot e^{-x+1} \) Teil I

a) Weisen Sie nach, dass der Graph von \( \mathrm{f} \) die Koordinatenachsen nicht schneidet.

b) Bestimmen Sie den Punkt \( \mathrm{P} \), in dem die Tangente an \( \mathrm{f} \) waagerecht verläuft.

c) Sei \( \mathrm{h}(\mathrm{x})=\mathrm{x} \cdot \mathrm{f}(\mathrm{x}) . \) Zeichnen Sie den Graphen von \( \mathrm{h} \) für \( -1 \leq \mathrm{x} \leq 4 \).

d) Wie muss \( \mathrm{u}>0 \) gewählt werden, damit das Rechteck \( \mathrm{O}(0 \mid 0), \mathrm{A}(\mathrm{u} / 0), \mathrm{B}(\mathrm{u} \mid \mathrm{h}(\mathrm{u})) \) und
\( \mathrm{C}(0 \mid \mathrm{h}(\mathrm{u})) \) möglichst geringen Umfang hat?

Answer 1

f(x) = 2/x·e^{-x + 1}

a)

Y-Achsenabschnitt f(0)

ist nicht definiert

Nullstellen f(x) = 0

Satz vom Nullprodukt 2/x wird nie Null, weil ein Bruch nur Null werden kann wenn der Zähler null wird. Die e-Funktion wird auch niemals null.

b)

f'(x) = - 2·e^{1 - x}·(x + 1)/x^2 = 0

Das kann nur bei x = -1 sein, wenn der Zähler null wird.

c)

h(x) = 2·e^{-x + 1}

U = 2·x + 2·2·e^{-x + 1} = 4·e^{1 - x} + 2·x
U' = 2 - 4·e^{1 - x} = 0
x = 1 - ln(1/2) = 1.693

Auf die hinreichende Bedingung verzichte ich hier. Kann aber gemacht werden.

Comments

Danke schön soweit kann ich alles nachvollziehen .. aber da fehlt ja noch d) !

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Hallo anes,

  fehlt in der Anwort vom Mathecoach nicht. Fängt dort bei U = ... an.

  Hier ein bißchen ausführlicher

h ( x ) = x * f ( x )
h ( x ) = x * 2/x * e^{-x+1}
h ( x ) = 2 * e^{-x+1}

Umfang Rechteck
U ( u ) = 2 * u + 2 * h ( u )
U ( u ) = 2 * u + 2 * 2 * e^{-u+1}
U ( u ) = 2 * u + 4 * e^{-u+1}

Zur Ermittlung der Extremwerte die 1.Ableitung bilden und dann zu null setzen

U ´ ( u ) = 2  + 4 * e^{-u+1} * (-1)
U ´ ( u ) = 2  - 4 * e^{-u+1}

2  - 4 * e^{-u+1} = 0
- 4 * e^{-u+1} = -2
e^{-u+1} = 1 / 2
-u + 1 = ln(1/2) = -0.69
-u = -1.69
 u  = 1.69

 Jetzt müßte man noch zeigen das u = 1.69 ein Tiefpunkt  und
damit der Umfang an der Stelle am geringsten ist.

  mfg Georg