Algebraische Strukturen (Informatik)

Question

Aufgabe:

In einem endlichen Ring ist jedes Element entweder eine Einheit oder ein Nullteiler.

Frage:

Meine Problem ist, ich weiß nicht wie man das beweisen kann.

Answer 1

Im Nullring ist das klar: 0 ist kein Nullteiler, aber eine Einheit.

Sei also $R \neq 0$ (insb also $0 \neq 1$). Für $0 \in R$ ist das auch klar: 0 ist hier ein Nullteiler, aber keine Einheit. Sei nun $0 \neq a \in R$.

Falls $a$ ein Nullteiler ist ex. ein $b\neq 0$ mit $ab = 0$. Wäre $a$ jetzt zusätzlich eine Einheit würde $a^{-1}ab = a^{-1}0 = 0 \implies b = 0$ folgen. Widerspruch.

Falls $a$ kein Nullteiler ist

$$\varphi_a : R \to R, b \mapsto ab$$

eine  injektive Abbildung (nachrechnen!). Da $R$ endlich also sogar bijektiv, folglich existiert ein Urbild zur $1$ und damit auch ein $b \in R$ mit $ab = 1$, weshalb $a$ eine Einheit ist.