Rechenschritt in einer Integrationsaufgabe unklar

Question

∫1/((1-x²)^(1/2)) = arcsin(x) + C

Problem/Ansatz:

Mir ist unklar, warum beim Uebergang von Rechenschritt (1) zu (2), wobei theta statt x eingefuehrt wird, statt dx cos theta dx gesetzt werden muss.

(1) $y=\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} d x$
(2) $y=\int \frac{1}{\sqrt{1-\sin ^{2} \theta}} \cdot \cos \theta d x$
(3) $y=\int \frac{1}{\cos \theta} \cdot \cos \theta d x$
$(4) y=\int 1 d \theta$
$(5) y=\theta+c$
(6) $y=\arcsin (x+c)$

$\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} | x$
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$\sin \theta=\frac{\frac{x}{1}}{\frac{\sqrt{1-x^{2}}}{1}}$
$\sin ^{2} \theta=x^{2}$

Answer 1

Aloha :)

An der kritischen Stelle wird folgende Substitution vorgenommen:$$x=\sin\Theta\quad;\quad \frac{dx}{d\Theta}=\cos\Theta\quad\Rightarrow\quad dx=\cos\Theta\,d\Theta$$

Am Ende (Schritt 6) wird dann wieder zurück substituiert:$$\Theta=\arcsin x$$Das $c$ muss außerhalb des $\arcsin$ stehen, also $\arcsin(x)+c$.

Comments

Hallo Tschaka,

ein Tipp zu den griechischen Buchstaben:

\theta , \vartheta , \Theta

$$\theta , \vartheta , \Theta$$