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Servus!

Ich bräuchte einen Ansatz für folgende Aufgabe:

Berechnen Sie für folgende Matrix für \(a=1\), \(b=2\), \(c=3\) den (1,1)-Eintrag von \(A^{-1}\):

\(A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 &c^2\end{pmatrix}\)



Ich weiß wie man die Inverse Matrix berechnet, kenne aber keine Methode zur Berechnung eines einzelnen Eintrags dieser.

Danke schon mal im Vorraus!

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Es gibt die Cramersche Regel für die inverse Matrix. Eigentlich nur von theoretischem Interesse, aber zur Berechnung eines einzelnen Eintrags gut geeignet.

3 Antworten

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Man nehme ein CAS

\(\small C \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}a11&a12&a13\\a21&a22&a23\\a31&a32&a33\\\end{array}\right)\)

\(\small C^{-1} ⇒ c^{-1}_{11}= (a22 a33 - a23 a32) / (a11 a22 a33 - a11 a23 a32 - a12 a21 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 - a13 a22 a31)\)

\(\small C^{-1} ⇒ c^{-1}_{11}=\frac{ (a22 a33 - a23 a32) }{ Det(C)}\)

Avatar von 21 k

Gibt es dafür auch ein Allgemeines Schema, womit ich auch z.B. den (2,2)-Eintrag oder den (1,3)-Eintrag berechnen kann?

Ja, die Determinanten Version für eine Inverse

oder

\(\scriptsize C^{-1}=  \frac{1}{Det\left(C \right)} \cdot \left(\begin{array}{rrr}a22 \; a33 - a23 \; a32&-a12 \; a33 + a13 \; a32&a12 \; a23 - a13 \; a22\\-a21 \; a33 + a23 \; a31&a11 \; a33 - a13 \; a31&-a11 \; a23 + a13 \; a21\\a21 \; a32 - a22 \; a31&-a11 \; a32 + a12 \; a31&a11 \; a22 - a12 \; a21\\\end{array}\right)  \)

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Aloha :)

Ich kannte die Cramer'sche Regel bisher nicht oder habe sie wieder verdrängt. Man kann das Problem auch einfacher lösen. Wenn du die Matrix \(A\) mit der ersten Spalte \((x,y,z)^T\) der Inversen multiplizierst, muss \((1,0,0)^T\) rauskommen:

$$\left(\begin{array}{c}1 & 1 & 1\\1 & 2 & 3\\1 & 4 & 9\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1 \\0\\0\end{array}\right)$$

Als Lösung dieses Gleichungssystems erhalte ich \(x=3\).

Avatar von 148 k 🚀

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