Bsp. Zeigen, dass eine strikt konvexe Funktion: f: [a,b] höchstens ein globales Minimum hat

Question

Aufgabe:

a) Zeigen Sie, dass eine strikt konvexe Funktion: f: [a,b] höchstens ein globales Minimum hat

b) Geben Sie eine konvexe Funktion an, die mindestens zwei globale Minima hat. Weisen Sie dazu die Konvexität der von Ihnen gewählten Funktion nach und geben Sie zwei konvexe Minimalstellen an

c) Zeigen Sie, dass eine Funktion die konkav ist und ein globales Minimum an einer inneren Stelle hat, eine konstante Funktion sein muss

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand beim Lösen der Aufgaben helfen?

Answer 1

a) Seien x,y zwei verschiedene globale Minima, wir bemerken, dass dann f(x)=f(y) ist. Desweiteren aufgrund  der Konvexität gilt  für \( \lambda =1/2\):
\(f(1/2(x+y))< 1/2( f(x)+f(y))=f(x) \).
Widerspruch zu "x ist globale Minimum".
b) f(x)=x
c) Beweis per Widerspruch. Angenommen f nicht konstant. Sei m das globale Minimum, dann gibt es \(x\neq m\) sodass \( f(m) \neq f(x)\). Da m ein Minimum ist, schließen wir  sogar \( f(m)<f(x)\).  Konkav mit \( \lambda \in [0,1] \) bedeutet: 
\(f(\lambda m+(1-\lambda)x))\geq \lambda f(m)+(1-\lambda)f(x)>\lambda f(m)+(1-\lambda)f(m)=f(m) \).
Speziell für lambda = 1 haben wir Widerspruch.
Ich habe nicht benutzt, dass m eine innere Stelle ist?