Frage zur Integralrechnung

Question

Aufgabe

∫ (a * sin t - b * cos t ) dt

Grenzen von 0 bis pi

Problem/Ansatz:

Hey ich weiß einfach nicht wie ich diese Aufgabe lösen soll es soll 2a rauskommen aber ich komme da nicht drauf.

Ich gehe mal davon aus das a und b als konstant festgesetzt sind

ich bilde die Stammfunktion [ a * (-cos t) - b * (-sin t) ]

kann mir mal bitte wer die Vorgehensweise erläutern?

wäre wirklich sehr dankbar am besten mit einem Rechenweg, kann es sein das mir da ein paar Regeln fehlen?

LG

Answer 1

Ich gehe mal davon aus das a und b als konstant festgesetzt sind

Das kann gar nicht anders sein. Die Integrationsvariable ist t; das erkennst du an dem dt am Ende. Alle anderen Platzhalter bezeichnen Konstanten.

ich bilde die Stammfunktion [ a * (-cos t) - b * (-sin t) ]

Korrekt ist a·(-cos t) - b · sin(t).

Comments

Und wie komme ich genau das Ergebnis von 2a?  ich verstehe das einfach nicht son ganz....

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Integrationsgrenzen in die Stammfunktion einsetzen und subtrahieren:

 \(\begin{aligned}&\phantom{=}\int_{0}^{\pi} (a\cdot\sin t - b\cdot\cos t)\,\mathrm{d}t \\&= [a\cdot(-\cos t) - b\cdot\sin t]_0^\pi \\&= (a\cdot(-\cos \pi) - b\cdot\sin \pi) - (a\cdot(-\cos 0) - b\cdot\sin 0)\\&= (a\cdot 1 - b\cdot 0) - (a\cdot (-1)) - b\cdot 0)\end{aligned}\)

Für bestimmte Stellen solltest du die Funktionswerte der Sinus- und Kosinusfunktion auswendig kennen oder anhand deines Wissens über den Verlauf dieser Funktionen  herleiten können. Insbesondere gilt das für ganzzahlige Vielfache von \(\frac{\pi}{2}\).

Answer 2

Hallo,

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Answer 3

Vielleicht wird die Aufgabe mit einer Zeichnung klarer.

f(x)=a * sin t          violett, hier: a=4

g(x)=- b * cos t )    gelb, hier b=3

Die Fläche zwischen den Kurven und der x-Achse liegt

    - bei f(x) oberhalb der x-Achse

    - bei g(x) zu gleichen Teilen ober- und unterhalb der x-Achse

Deshalb hebt sich das Integral bei g(x) auf und nur die unter der Sinuskurve liegende Fläche ist entscheidend.