Wie wurde dieser Logarithmus hier umgeformt?

Question

Wie kommt man auf diese Vereinfachung für den natürlichen Logarithmus?

Ich kenne keine Regel, bzw. keinen Trick der es mir erlaubt, so umzuformen.

\( f^{\prime}(x)=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}(\sqrt{x} \log x)=-\frac{1}{2 \sqrt{x}} \log x-\sqrt{x} \frac{1}{x}=-\frac{1}{2 \sqrt{x}}(\log x+2) \)

Ich meine genauer gesagt die Stelle, an der die 2 in den Logarithmus hineingezogen wurde. Wisst ihr wie das möglich ist?

Answer 1

\( f^{\prime}(x)=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}(\sqrt{x} \log x)   =-\frac{1}{2 \sqrt{x}} \log x-\sqrt{x} \frac{1}{x}    \)

Das war ja jetzt erst mal nur die Produktregel. Damit man ausklammern kann wäre beim

Subtrahenden sowas wie \(=-\frac{1}{2 \sqrt{x}} \)  gut , also die √x entsprechend erweitern

\(=-\frac{1}{2 \sqrt{x}} \log x-\frac{2x}{2 \sqrt{x}} \frac{1}{x}    \)

Jetzt das x kürzen

\(=-\frac{1}{2 \sqrt{x}} \log x-\frac{2}{2 \sqrt{x}}     \)

Jetzt ausklammern gibt:

\(=-\frac{1}{2 \sqrt{x}}(\log x+2) \)

Answer 2

Hallo,

..................................

√x/x = 1/√x

Answer 3

√x·\( \frac{1}{x} \) =\( \frac{\sqrt{x}}{x} \) =\( \frac{1}{\sqrt{x}} \) =\( \frac{2}{2\sqrt{x}} \) . Jetzt ausklammern von - \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \) .

Answer 4

Der Logarithmus gilt nur für x, die 2 wird zu log x addiert.