Wie wurde dieser Logarithmus hier umgeformt?

Question

Wie kommt man auf diese Vereinfachung für den natürlichen Logarithmus?

Ich kenne keine Regel, bzw. keinen Trick der es mir erlaubt, so umzuformen.

$f^{\prime}(x)=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}(\sqrt{x} \log x)=-\frac{1}{2 \sqrt{x}} \log x-\sqrt{x} \frac{1}{x}=-\frac{1}{2 \sqrt{x}}(\log x+2)$

Ich meine genauer gesagt die Stelle, an der die 2 in den Logarithmus hineingezogen wurde. Wisst ihr wie das möglich ist?

Answer 1

$f^{\prime}(x)=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}(\sqrt{x} \log x) =-\frac{1}{2 \sqrt{x}} \log x-\sqrt{x} \frac{1}{x}$

Das war ja jetzt erst mal nur die Produktregel. Damit man ausklammern kann wäre beim

Subtrahenden sowas wie $=-\frac{1}{2 \sqrt{x}}$  gut , also die √x entsprechend erweitern

$=-\frac{1}{2 \sqrt{x}} \log x-\frac{2x}{2 \sqrt{x}} \frac{1}{x}$

Jetzt das x kürzen

$=-\frac{1}{2 \sqrt{x}} \log x-\frac{2}{2 \sqrt{x}}$

Jetzt ausklammern gibt:

$=-\frac{1}{2 \sqrt{x}}(\log x+2)$

Answer 2

Hallo,

..................................

√x/x = 1/√x

Answer 3

√x·$\frac{1}{x}$ =$\frac{\sqrt{x}}{x}$ =$\frac{1}{\sqrt{x}}$ =$\frac{2}{2\sqrt{x}}$ . Jetzt ausklammern von - $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ .

Answer 4

Der Logarithmus gilt nur für x, die 2 wird zu log x addiert.