Aloha :)
Wir haben als Nebenbedingung:$$2626\stackrel{!}{=}F(x_1,x_2)=3x_1^2+80x_1x_2+3x_2^2$$und wollen die Kosten$$K(x_1,x_2)=85x_1+52x_2$$minimieren. Wir suchen eine Lösung im 1-ten Quadranten, also mit \(x_1,x_2\ge0\). Die Lagrange-Funktion ist schnell zusammengebaut:$$L(x_1,x_2,\lambda)=85x_1+52x_2-\lambda\left(3x_1^2+80x_1x_2+3x_2^2-2626\right)$$Wir bilden alle 3 partiellen Ableitungen und setzen diese \(=0\):
$$0\stackrel{!}{=}\frac{\partial L}{\partial x_1}=85-\lambda(6x_1+80x_2)$$$$0\stackrel{!}{=}\frac{\partial L}{\partial x_2}=52-\lambda(80x_1+6x_2)$$$$0\stackrel{!}{=}\frac{\partial L}{\partial\lambda}=3x_1^2+80x_1x_2+3x_x^2-2626$$Wir nutzen die ersten beiden Gleichungen, um \(\lambda\) loszuwerden:
$$\left.\begin{array}{l}\lambda(6x_1+80x_2)=85\\\lambda(80x_1+6x_2)=52\end{array}\right\}\quad\Rightarrow\quad\frac{\lambda(6x_1+80x_2)}{\lambda(80x_1+6x_2)}=\frac{85}{52}$$$$\Rightarrow\quad6x_1+80x_2=\frac{85}{52}(80x_1+6x_2)=\frac{1700}{13}x_1+\frac{255}{26}x_2$$$$\Rightarrow\quad156x_1+2080x_2=3400x_1+255x_2$$$$\Rightarrow\quad1825x_2=3244x_1$$$$\Rightarrow\quad x_2=\frac{3244}{1825}x_1$$Das setzen wir in die dritte Gleichung ein:$$0=3x_1^2+80x_1\cdot\left(\frac{3244}{1825}x_1\right)+3\left(\frac{3244}{1825}x_1\right)^2-2626$$$$x_1^2\left(3+80\cdot\frac{3244}{1825}+3\cdot\frac{3244^2}{1825^2}\right)=2626$$$$x_1=4,120292$$Eingesetzt in die Formel für \(x_2\) finden wir als Lösung:$$x_1=4,120292\quad;\quad x_2=7,323960$$Die Kosten für die Herstellung belaufen sich auf:$$K_{\text{optimal}}=85x_1+52x_2=\boxed{731,07}$$
