Induktionsbeweis für explizite Formel für K_{n}

Question

Aufgabe:

5. Herr Otto legt zum 1.1 .2021 einen Betrag \( G>0 \) auf einem Konto an. Am 31 Dezember wird jährlich der sich zu diesem Zeitpunkt auf dem Konto befindliche Betrag zu einem Zinssatz von \( p \) verzinst. Alle drei Jahre nach der Kontoeröffnung,
d.h. in den Jahren \( 2024,2027,2030, \ldots, \) zahlt Herr Otto am \( 1 . \) Januar jeweils einen Betrag \( B>0 \) auf das Konto ein. Es bezeichne \( K_{n} \) den Kontostand am \( 14 . \) Februar des Jahres \( 2021+n, n \in \mathbb{N} \) Stellen Sie eine explizite Formel für \( K_{n} \) (in Abhängigkeit von \( G, B, p \) und \( n \) ) auf und beweisen Sie die Richtigkeit Ihrer Formel mittels Induktion.

Problem/Ansatz:

Hallo Leute, könnte mir hier einer dabei helfen, wie ich die Formel genau aufstelle? Habe paar Probleme mit der Zahlung, die alle 3 Jahre eingeht und zusätzlich bin ich mir nicht ganz sicher, wie ich die zweite Seite für den endgültigen Beweis aufstelle. Danke schon einmal im Voraus

Comments

Ganz spontan würde ich das ganze aufteilen. Einmal in den für Startbetrag und dann für jede Einzahlung B noch eine weitere Zinseszins-Rechnung.

Das ist nur eine grobe Skizze, wie man an die Formel kommen könnte, habs nicht getestet oder versucht zu vereinfachen. Dies solltest du übernehmen.

Also:
G*(1 +p) ^n wäre der Betrag der Zinsen, der nur aus dem Startbetrag erhalten wird.

Für die Zinsen der jeweiligen Einzahlung nach 3 Jahren gilt nun: Für jedes B_m  (m = Zahlung im Jahr n gilt nun)

B*(1 +p) ^(n-m)

Das solltest du als Summe in Abhängigkeit von n ausdrücken können.

Sei k das Ergebnis, wenn wir n/3 abrunden.

(Summe von m = 1  bis m = k) B*(1 +p) ^(n-3k)

Jetzt beides zusammenfügen.

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Ich denke ich habe jetzt die eine Seite hinbekommen, jedoch fehlt mir dennoch die zweite Seite:

Die Seite die ich aufgestellt habe sieht wie folgt aus:

q = 1 + p

K_n = G*qⁿ + B*( (Summe von k=0 bis n/3)q^3k -1)

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Mein Ansatz stimmt aber auch nicht ist mir übrigens aufgefallen

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Manche Leute stellen hier Fragen, und wenn man ihnen dann helfen will, siehe meine ausführliche Antwort, interessiert es sie einfach nicht mehr.  Echt schade.

Answer 1

Hallo besart, deine aktuelle Aufgabe ähnelt der ganz normalen Rentenrechnung und ergibt damit auch so was Ähnliches wie die Rentenformel.  Also schauen wir uns zuerst diese an, bevor es komplizierter wird.  p ist der Zinssatz, z. B. p = 3 % = 0,03.  Ich setze q = 1+p, dann werden die Formeln kürzer.  Immer zum 1.1. zahle ich die Rente R ein:
1.1.1:  K₀ = R
31.1.1:  K₀₁ = R * q
1.1.2:  K₁ = R * q + R
31.1.2:  K₁₁ = (R * q + R) * q
1.1.3:  K₂ = (R * q + R) * q + R
31.12.3:  K₂₁ = ((R * q + R) * q + R) * q
usw.
Trick:  ausmultiplizieren:  K₃ = R * q^3 + R * q^2 + R * q + R  =>  geometrische Reihe  =>  geschlossene Formel!  Alles klar?  Jetzt berechne bitte mal K_n.

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Hallo besart, bist du nicht mehr an der Lösung deiner Aufgabe interessiert?