Definition des Limes anpassen

Question

Hallo an Alle

Ich rede nicht lange um den heißen Brei.

Für ein Problem, das uns gerade über den Weg läuft stört bei der Definition des Limes der Punkt, dass

| F(x) - L | < ε

gilt. Es kam die Idee ob man denn nicht das < durch ein ≤ ersetzen kann... Uns ist so schnell nichts eingefallen das dagegenspricht. Aber wir möchten sicher gehen danke :).

Answer 1

Hallo

 natürlich geht das, da ja ε beliebig ist kannst du es immer durch ein andres ersetzen, es ist ja keine feste Zahl

Gruß lul

Answer 2

Es kam die Idee ob man denn nicht das < durch ein ≤ ersetzen kann...

Und was soll das bringen, dass man auch die Gleichheit zulässt?

Die Ungleichung soll schließlich FÜR ALLE positiven ε  gelten.

Wenn du jetzt durch das Erlauben der Gleichheit einen zusätzlichen Wert gewinnst, für den die Ungleichung auch gilt: So what? Mit einer Verkleinerung von ε ist dieser zusätzlich gewonnene Wert schon wieder raus aus der Lösungsmenge der Ungleichung.

Letztendlich dürft ihr das zwar machen, aber es bringt keinerlei Gewinn.

Comments

Ist für ein fragwürdiges Gedankenexperiment

Answer 3

Nein, das darfst Du nicht.

Die Argumentation mit "nur 1 Wert mehr ... ist egal" ist völlig falsch. (Mal abgesehen davon, dass Umgebungen auch im Mehrdimensionalen existieren, und Du immer mehr als 1 Wert dazunimmst.)

Für $U(a) < \epsilon$ hast Du eine offene Umgebung, für $U(a) \leq \epsilon$ hast Du eine abgeschlossene Umgebung.

Im ersten Fall erzwingst Du alle Werte echt innerhalb, im zweiten können sie auch auf dem Rand liegen.

Lässt Du Werte auf dem Rand zu, bekommst Du riesige Probleme mit fast allen Sätzen und Beweisen, die auf Umgebungen basieren.

Comments

Nein, das darfst Du nicht.

Wie meinst du das? In welchem Sinne genau ist was nicht erlaubt?

Lässt Du Werte auf dem Rand zu, bekommst Du riesige Probleme mit fast allen Sätzen und Beweisen, die auf Umgebungen basieren.

Hast du ein Beispiel?

Sei $X$ ein metrischer Raum mit Metrik $d$ und $x\in X$ ein Punkt darin.

Typischerweise verwendet man doch Umgebungen für "lokale" Eigenschaften der Art: "Für alle noch so kleinen Umgebungen $U$ von $x$ gilt: $E(U)$", wobei $E$ eine Aussage(form) über Umgebungen von $x$ ist mit der Eigenschaft, dass sie schwerer zu erfüllen sind, je kleiner $U$ ist. Mit letzterem meine ich präzise: Für alle Umgebungen $U$ und $V$ von $x$ mit $U\subset V$ gilt die Implikation: Wenn $E(U)$ gilt, dann auch $E(V)$.

Unter dieser Annahme an E sind äquivalent:

a) Für alle Umgebungen $U$ von $x$ gilt: $E(U)$.

b) Für alle offenen Umgebungen $U$ von $x$ gilt: $E(U)$.

c) Für alle abgeschlossenen Umgebungen $U$ von $x$ gilt: $E(U)$.

d) Für alle $\varepsilon>0$ gilt $E(\{y\in X\;|\;d(x,y)<\varepsilon\})$.

e) Für alle $\varepsilon>0$ gilt $E(\{y\in X\;|\;d(x,y)\le\varepsilon\})$.

Beispiel: Konvergenz einer Folge $(x_n)_n\in\mathbb{N}$ von Punkten aus $X$ gegen $x$ ist äquivalent zu a) bis e) mit

$$E(U):=\exists N\in\mathbb{N}\colon\forall n\ge N\colon x_n\in U\text{.}$$

Answer 4

Sei $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ eine Folge reeller Zahlen und $a$ eine reelle Zahl. Dann sind äquivalent:

1. $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ konvergiert gegen $a$, d.h. für jedes $\varepsilon>0$ existiert ein $N\in\mathbb{N}$ mit $|a_n-a|<\varepsilon$ für alle $n\ge N$.

2. Für jedes $\varepsilon>0$ existiert ein $N\in\mathbb{N}$ mit $|a_n-a|\le\varepsilon$ für alle $n\ge N$.

Beweis:

Gelte zunächst Bedingung 1. Um 2. nachzuweisen, sei $\varepsilon>0$ beliebig vorgegeben. Nach 1. Existiert ein $N\in\mathbb{N}$ mit $|a_n-a|<\varepsilon$ für alle $n\ge N$. Insbesondere gilt dann $|a_n-a|\le\varepsilon$ für alle $n\ge N$., Damit ist gezeigt, dass Bedingung 1. die Bedingung 2. impliziert.

Sei nun umgekehrt Bedingung 2. vorausgesetzt. Zum Nachweis von 1. sei $\varepsilon>0$ beliebig vorgegeben. Dann ist auch $\varepsilon':=\frac{\varepsilon}{2}>0$. Nach 2. angewandt auf existiert somit ein $N\in\mathbb{N}$ mit $|a_n-a|\le\varepsilon'$ für alle $n\ge N$. Somit gilt für alle $n\ge N$ die Ungleichungskette $|a_n-a|\le\varepsilon'=\frac{\varepsilon}{2}<\varepsilon$. Damit ist gezeigt, dass Bedingung 2. die Bedingung 1. impliziert.