Textaufgabe: 8 Klasse-Gleichung aufstellen

Question

Aufgabe:

1. Die Seitenlängen eines Rechtecks unterscheiden sich um 2 cm. Verlängert man die längere Seite um 5 cm und verkürzt die kleinere Seite gleichzeitig um 3 cm, so ändert sich der Flächeninhalt des Rechtecks nicht. Welche Länge und welche Breite hatte das ursprüngliche Rechteck?

2. Ein Rechteck hat einen Umfang von 60 cm. Verkürzt man die längere Seite um 2 cm und verkürzt gleichzeitig die kürzere Seite um 3 cm, so wird der Flächeninhalt um 73 cm*2 kleiner. Welche Maße hatte das ursprüngliche Rechteck?

Problem/Ansatz:

Ich komme bei den beiden Aufgaben leider nicht auf ein Ergebnis.

Ich bedanke mich im Voraus bei jedem, der mir seine Hilfe bereithält.

Answer 1

Hallo,

der Flächeninhalt eines Rechtecks ist $A=a\cdot b$.

Wenn a die kürzere Seite ist, dann gilt in diesem Fall

die Seitenlängen eines Rechtecks unterscheiden sich um 2 cm

$a=b-2$

Verlängert man die längere Seite um 5 cm

Das ergibt b + 5

verkürzt die kleinere Seite gleichzeitig um 3 cm

Das ergibt a - 3

so ändert sich der Flächeninhalt des Rechtecks nicht

Also: $(a-3)\cdot (b-5)=a\cdot b$

In dieser Gleichung ersetzt du a durch b - 2 und löst nach b auf.

Wenn das klar ist, kannst du dich (oder wir können uns) der nächsten Aufgabe widmen. Sonst bitte fragen!

Gruß, Silvia

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vielen Dank für deine schnelle Antwort, die hat mir sehr weitergeholfen.

Ich habe nun alles verstanden. Die 2. Aufgabe hat mir bereits ein anderer User erklärt.

Liebe Grüße

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Schön, dass du dich für die Antworten, die du bekommen hast, so ausführlich bedankst. 

Answer 2

Hallo,

Die Seitenlängen eines Rechtecks unterscheiden sich um 2 cm.

Da wir nicht wissen, wie lang die kürzere Seite des Rechtecks ist, nenne ich diese $x$. Dann ist die Länge der längeren Seite $x+2$ und die Fläche ist $x \cdot (x+2)$

Verlängert man die längere Seite um 5 cm ....

Die längere Seite war $x+2$ lang. Verlängert man die um 5(cm), so ist sie nun $x+7$ lang.

... und verkürzt die kleinere Seite gleichzeitig um 3 cm,

Die kleinere Seite hatte die Länge $x$ (s.o.), dann wären das nun $x-3$. Der neue Flächeninhalt wäre dann das Produkt der beiden (neuen) Seiten $(x+7) \cdot (x-3)$

so ändert sich der Flächeninhalt des Rechtecks nicht.

Die Flächeninhalte vorher und nachher sind gleich, also ist $$\begin{aligned} x \cdot (x+2) &= (x+7) \cdot (x-3) \\ x^2 + 2x &= x^2 + 4x - 21 \\ 0 &= 2x -21 \\ 2x &= 21 \\ x &= 10,5 \end{aligned}$$Das ursprüngliche Rechteck hatte folglich die Abmessung $10,5 \text{cm} \times 12,5 \text{cm}$.

Ein Rechteck hat einen Umfang von 60 cm.

Ist die eine Seite $x$ lang und die andere $y$, so ist demnach $2(x+y)=60$. Daraus folgt, dass $y= 30-x$ ist. Der Flächeninhalt wäre $x\cdot y$.

Verkürzt man die längere Seite um 2 cm ...

Ich nehme an, dass $x$ die längere Seite ist. Nach der Verkürzung ist sie $x-2$

... und verkürzt gleichzeitig die kürzere Seite um 3 cm,

also $y-3$

so wird der Flächeninhalt um 73 cm*2 kleiner.

Vorher war der Flächeninhalt $x\cdot y$ und nun $(x-2) \cdot (y-3)$. Der letztere ist 73cm² kleiner. Also ist $$\begin{aligned} x \cdot y &= (x-2) \cdot (y-3) + 73 \\ x \cdot y &= x \cdot y -3x - 2y + 6 + 73 \\ 0 &= -3x - 2y + 79 && \left|\, y = 30-x \space \text{s.o.}\right. \\ 0 &= -3x - 2(30-x) + 79 \\ 3x -2x &= -60 + 79 \\ x &= 19 \implies y=30-19=11 \end{aligned}$$Gruß Werner

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Werner,

vielen Dank für deine Mühe. Deine Antworten haben mir sehr geholfen.

Liebe Grüße