Rechengang beschreiben und fehlende Zahlen ergänzen

Question

Aufgabe:

Ich muss hier den Rechengang beschreiben und die fehlenden Zahlen ergänzen.

$\lim \limits_{x \rightarrow \pm \infty} \frac{x+5}{3 x-3}=\frac{1}{3}$

$| \frac{\bar{x}+5}{3 \bar{x}-3}-\frac{1}{3}|=| \frac{\bar{x}+5-(\bar{x}-1)}{3 \bar{x}-3}|=| \frac{6}{3 \bar{x}-3}|=| \frac{2}{\bar{x}-1} |=\varepsilon$

=

$\longrightarrow$ Für $x<1$ gilt $\bar{x}=-\frac{2}{\varepsilon}+1$ und für $x>1$ gilt $\bar{x}=\frac{2}{\varepsilon}+1$
$|f(x)-a|<\varepsilon$ für $x>1$ und für $x<1$

x < 1:

$x<\bar{x} \rightarrow|x-1|>|\bar{x}-1|=\frac{2}{ε}$

=

x > 1 :

$x>\bar{x} \rightarrow|x-1|>|\bar{x}-1|=\frac{2}{ε}$

$\begin{aligned} \rightarrow|f(x)-a| &=\left|f(x)-\frac{1}{3}\right|=\left|\frac{x+5}{3 x-3}-\frac{1}{3}\right|=| \frac{x+5-(x-1)}{3 x-3} \\ &=\left|\frac{6}{3 x-3}\right|=\left|\frac{2}{x-1}\right|<2 \cdot\left|\frac{1}{\bar{x}-1}\right|=2 \cdot \frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon \end{aligned}$

Leider weiß ich nicht sorecht, wie ich hier vorgehen soll. Muss ich da für X die angegebene Formel eingeben?  Wie zum Beispiel - 2/E x +1  -  bei x < 1 ?

Answer 1

Sieh dir dazu am besten die Def. des Grenzwertes für x gegen ±∞ nochmal an.

Nehmen wir mal zur Vereinfachung nur den Fall +≈.

Da heißt es dann wohl bei euch (wenn a der Grenzwert ist)

Zu jedem ε>0 gibt es ein x_quer, so dass für alle x>x_quer gilt

              | f(x) - a |  <  ε .

Und wenn du hier bei dieser konkreten Aufgabe die Gültigkeit der

Def zeigen willst  ( also für f(x)=(x+5)/(3x-3)  und a= 1/3 , musst

du schauen, welche Bedingung an das x zu stellen ist, damit

    | f(x) - a |  <  ε .  gilt.

Dazu hat der Autor sich wohl überlegt: Wir schauen mal erst, wann

in dieser Ungleichung das "=" gilt, denn das ist dann ja wohl die

Stelle von der an die Ungleichung für alle x gelten könnte, also

das ist das gesuchte x_quer.

Die ersten Umformungen zeigen: Dies bedeutet nur

| 2 / (x_quer - 1 ) | =   ε   noch besser  hieße es wohl

   2 / |x_quer - 1  | =   ε  denn der Betrag eines Bruches ist

ja der Bruch aus den Beträgen.

Jetzt hat man sich überlegt:    |x_quer - 1  |  hängt ja davon ab, ob

x_quer größer oder kleiner als 1 ist. Für x>1 hat man also

    2 / (x_quer - 1) =   ε

<=>   x_quer = 1 + 2/ ε   und für alle x > x_quer gilt dann

    | f(x) - a |  <  ε.      #

Und in dem letzten Kasten wird nochmal nachgerechnet, dass für

x>1 und x_quer = 1 + 2/ ε       # auch wirklich erfüllt ist.

Damit ist gezeigt: Für gegen +∞ ist tatsächlich 1/3 der Grenzwert.

Die entsprechende Überlegung für x gegen -∞  wird in dieser Darstellung

immer gleich parallel mit behandelt. Da muss man zeigen:

Zu jedem ε>0 gibt es ein x_quer, so dass für alle x<x_quer gilt

           | f(x) - a |  <  ε .

Und hier ist das x_quer eben der zusätzlichen Forderung x<-1 unterworfen.

Comments

Vielen lieben Dank für die ausführliche Erklärung ! :)